Demostrar la irracionalidad de la $e^n$.

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. Sé que la tradicional prueba de que $e$ es irracional. ¿Cómo podemos mostrar que $e^n$ es irracional en algún tipo de línea similar? Por supuesto, estoy suponiendo que es, pero yo estaría sorprendido si no. Se me ocurre que desde $e$ es trascendental, de curso $e^n$ es irracional, pero no quiero usar ese hecho.

Buscando en google me da algo de $e^2$, pero yo no podía encontrar fácilmente cualquier cosa para $e^3$.

Answer 1

Niven de polinomios

Vamos $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}$ entonces

$$f(x)=f(1-x)$$

$$\displaystyle 0\le f(x)<\frac{1}{n!}$$

$$f^{(j)}(0)\;,\;f^{(j)}(1) \in \mathbb{Z} \;,\; j\ge 0$$

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La proposición. El número de $e^3$ es irracional.

Prueba: Supongamos que $\displaystyle e^3=\frac{a}{b}$

$$\displaystyle F=3^{2n}f-3^{2n-1}f'+3^{2n-2}f''-\cdots + f^{(2n)}$$

$$\displaystyle F'+3F=3^{2n+1}f$$

$$\displaystyle \mathbb{Z^+} \ni aF(1)-bF(0)=b\Bigl[e^{3x}F(x)\Bigr]_0^1=b\int_0^1 3^{2n+1}e^{3x} f(x)dx \longrightarrow 0^+\;,\;n \longrightarrow\infty $$ Contradicción análogamente $e^h$ es irracional $h \in \mathbb{Z}^+.$