¿Encontrar el límite de una función?

Question

El límite es en realidad fácil: $\displaystyle \lim \limits_{t\to\infty}\dfrac{t^{k+1}}{e^t}$

Se puede usar la regla de L'Hôpital y decir que en última instancia la función superior se reducirá a una constante mientras que la función inferior permanecerá igual. Por lo tanto, el límite es cero. Me preguntaba si hay otra forma o una representación matemática más adecuada de la respuesta.

Answer 1

También puedes usar la representación en series $e^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}$ para observar que para cualquier $k \in \mathbb{N}$ dado tenemos $e^t > t^{k+2}$ para $t > 1$. Por lo tanto, $$ \frac{t^{k+1}}{e^t} < \frac{t^{k+1}}{t^{k+2}} = \frac{1}{t} \xrightarrow{t \to \infty} 0. $$

Answer 2

Alternativamente, podemos proceder por inducción en $k\in \mathbb{N}$.

Caso Base: Para $k=0$, solo necesitamos aplicar la regla de L'Hôpital una vez: $\displaystyle \lim \limits_{t\to\infty}\dfrac{t}{e^t} = \lim \limits_{t\to\infty}\dfrac{1}{e^t} = 0$.

Hipótesis Inductiva: Supongamos que $\displaystyle \lim \limits_{t\to\infty}\dfrac{t^{k+1}}{e^t} =0$ se cumple para $k=r$.

Resta demostrar que la ecuación se cumple para $k=r+1$. Luego, con una aplicación más de la regla de L'Hôpital y la hipótesis de inducción, observamos que: $$\lim_{t\to\infty}{\frac{t^{r+2}}{e^t}}=\lim_{t\to\infty}{\frac{(r+2)t^{r+1}}{e^t}}=(r+2)\lim_{t\to\infty}{\frac{t^{r+1}}{e^t}}=(r+2)(0)=0$$ como se deseaba.

Answer 3

Sin l'Hôpital:

Empezamos con $$\tag1e^x\ge 1+x\quad\text{para todo }x\ge 0,$$ lo cual se sigue (y de hecho sigue siendo válido incluso para todo $x\in\mathbb R$)

• de la desigualdad de Bernoulli aplicada a $\left(1+\frac xn\right)^n$ si se introduce $e^x$ como $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n$
• de $e^x\ge 1$ para $x\ge0$ y $e^x-e^0=(x-0)e^\xi\ge x$ con $0<\xi< x$ (teorema del valor medio) si se introduce $e^x$ como solución de $y'=y$ con $y(0)=1$
• al omitir todas las potencias superiores si se introduce $e^x$ a través de la serie de potencias $\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$

Sustituyendo $x=\frac t{k+1}$ en $(1)$ y elevando a la potencia $(k+1)$, esto se convierte en $$ e^t=\left(e^{t/(k+1)}\right)^{k+1}\ge \left(1+\frac t{k+1}\right)^{k+1}\ge \frac1{(k+1)^{k+1}}\cdot t^{k+1}\quad\text{para }t\ge 0.$$ Por lo tanto, $$\left|\frac{t^{k+1}}{e^t}\right|\le (k+1)^{k+1}\quad\text{para }t\ge 0$$ y $$\left|\frac{t^{k}}{e^t}\right|\le (k+1)^{k+1}\cdot\frac1t\quad\text{para }t> 0,$$ es decir $$\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{k}}{e^t}=0.$$

Answer 4

Podrías notar que $$\begin{array}{rcl} \lim_{t\to\infty} \frac{t^{k+1}}{e^t} &=& \lim_{t\to\infty} \frac{((k+1)t)^{k+1}}{e^{(k+1)t}}\\ &=& (k+1)^{k+1}\lim_{t\to\infty} \left(\frac t{e^t}\right)^{k+1} \end{array}$$

Ahora puedes usar la continuidad de $x\mapsto x^{k+1}$ y solo necesitas usar L'Hôpital una vez.