Probabilidad con varios jugadores

Question

Tengo lo que imagino que es una pregunta de probabilidad bastante simple.

Tengo cartas con los números del uno al diez en ellas. La persona que saque la carta más alta gana.

Si juego contra un solo oponente y saco un 4, mi oponente necesita sacar un 5-10 con 9 cartas restantes. Por lo tanto, tienen una probabilidad de 6/9 de vencerme.

Sin embargo, si tengo dos oponentes, ¿cuál es mi probabilidad de ser vencido? He intentado de algunas maneras y todas terminan en una derrota segura (lo cual claramente está mal ya que ambos podrían sacar cualquiera de las 3, 2 o 1 restantes.

Answer 1

Para que ganes, ambos deben sacar los números 1, 2, 3.

La probabilidad de esto es $\frac 3 9 \times \frac 2 8$

La probabilidad de que pierdas es 1 menos la probabilidad de que ganes.

Solo menciono esto porque a veces es cierto que el complemento de un conjunto que parece complicado es simple, y este es un truco que debes conocer y tener en cuenta.

Answer 2

Bueno, el primero todavía tiene una probabilidad de 6/9 de vencerte.

El segundo (si es necesario) tiene una probabilidad de 6/8. (El primero debe haber elegido 1, 2 o 3, así que hay un total de 2+6 y 6 ganarán.)

El segundo es necesario 3/9 veces, así que es

6/9 + 3/9 * 6/8
\= 2/3 + 1/3 * 3/4
\= 2/3 + 1/4
\= (8 + 3) / 12
\= 11/12

Answer 3

Hay 72 posibilidades para sacar las dos cartas (9 para el primer oponente, 8 para el segundo). Solo ganas si ambas cartas están entre el 1, 2, 3, y hay 6 posibilidades de cómo esto puede suceder (3 para el primero, 2 para el segundo). Por lo tanto, tu posibilidad de ganar es de 6/72 = 1/12.