Encuentra el subespacio $T$ del espacio $\mathbb R^3$ para que $\mathbb R^3=S \oplus T$

Question

Tengo un problema. Estoy seguro de que no es complicado, pero solo necesito ayuda para ver si estoy, al menos, en el camino correcto.

Problema: Sea $S=Span\{(0,-2,3),(1,1,1),(2, -2, 8)\}\subseteq \mathbb R^3$. Encuentra un subespacio $T$ del espacio $\mathbb R^3$ tal que $\mathbb R^3=S \oplus T$.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

1. Dado que $S$ es el espacio generado por los vectores $(0,-2,3),(1,1,1),(2, -2, 8)$, eso significa que $S$ tiene todos los vectores que son combinación lineal de esos tres vectores.
2. Estamos buscando un subespacio $T$, pero necesitamos tener en cuenta que $\mathbb R^3=S \oplus T$, lo cual significa que S$\cap T=\overrightarrow 0$. Entonces, $T$ tendría todos esos vectores que no pueden ser resultado de la combinación lineal de los vectores de $S$.
3. Luego, coloqué los vectores de $S$ en una matriz: \(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & 8 \\ \end{bmatrix}\) y encontré que su rango es $2$, lo que significa que $\dim S=2$. También sabemos que $\dim\mathbb R^3=3$. Ahora, basado en la fórmula $\dim\mathbb R^3=\dim(S\oplus T)=\dim S+\dim T$, obtenemos que la dimensión de $T$ debería ser $1$. Eso significaría que $T$ necesita tener, por supuesto, $3$ vectores, pero el rango de la matriz $[T]$ debería ser uno. ¿Estoy en lo correcto al suponer que esos $3$ vectores serían algo así como $$T=\{(\alpha_0 a,\alpha_0 b,\alpha_0 c),(\alpha_1 a, \alpha_1 b, \alpha_1 c),(\alpha_2 a, \alpha_2 b, \alpha_2 c)\}$$, donde $\alpha_0, \alpha_1$ y $\alpha_2$ son escalares? Por ejemplo: $$[T]=\begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 4 & 14 & 2 \\ 8 & 28 & 4 \\ \end{bmatrix}$$ El rango de esa matriz sería uno, haciendo que la dimensión de $T$ sea uno. Por lo tanto, $T$ es el espacio generado por un vector.

Busqué aquí y encontré un problema similar, pero supongo que no estoy seguro de cómo se vería realmente $T$. ¿Sería $T$ el $span$ sobre el vector $(1,0,0)$ porque el span sobre ese vector no puede producir ninguno en el espacio $S$? ¿Puede $T$ ser el span sobre cualquier vector que forme una base en $\mathbb R^3$? Por ejemplo, ¿$T=span${$(1,1,0)$}?

Gracias.

Editar: cambiada la última pregunta.

Answer 1

Una idea: de hecho, $\;\dim\mathcal S=\dim\text{Span}\,S=2\;$ ,así que ¿por qué no reduces tu matriz (digamos, por filas para que sea más fácil) para verificar qué vector sacar (el linealmente dependiente en los otros dos) y empezar a comprobar qué vector agregar para hacer que todo sea linealmente independiente?:

$$\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-2&8\\0&-2&3\end{pmatrix}\stackrel{R_2-2R_1}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-4&6\\0&-2&3\end{pmatrix}\stackrel{R_3-\frac12R_2}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-4&6\\0&\;0&0\end{pmatrix}$$

y vemos que el tercer vector es linealmente dependiente en los dos primeros, así que puedes agregar, por ejemplo, el vector $\;(0,0,1)\;$ , y luego

$$R^3=\mathcal S\oplus T\;,\;\;\text{con}\;\;T:=\text{Span}\,(0,0,1)$$

También puedes elegir $\;(0,1,0)\;$ en su lugar, o infinitos vectores diferentes que funcionarán (¿cómo saber cuál? Puedes tomar un vector general $\;(a,b,c)\;$ y colocarlo en la matriz anterior en lugar de la tercera fila, y nuevamente reducir la matriz y verificar cuándo la tercera fila no se convierte en todo ceros)

Observa: $\;T\;$ no necesita "tener tres vectores", sea lo que sea que eso signifique: tiene que ser, por lo que hicimos anteriormente, un subespacio unidimensional generado, por supuesto, por un solo vector no nulo.

Answer 2

Formando una matriz con los vectores en $S$ como vectores columna (como has hecho), obtenemos \begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2\\ -2 & 1 & -2\\ 3 & 1 & 8 \end{bmatrix}. \end{equation*>

Ahora, el espacio generado por $S$ es el mismo que el espacio columna de $A$, y podemos encontrar una base para esto a partir de la forma escalonada por columnas de $A$, que es \begin{equation*> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & -2 & 0\\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix>. \end{equation*>

Ahora, hay dos vectores linealmente independientes, que forman una base del espacio generado por $S$. Para obtener una base completa de $\mathbb R^3$, necesitas otro vector más, que sea linealmente independiente de estos dos, y una elección obvia es (digamos) $v = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$. Por lo tanto, $T = \operatorname{span}(\{v\})$.