¿Cuál(es) de los siguientes valores de $t^3$ no son posibles?

Question

Sea $t$ un número real tal que $t^2 = at + b$ para algunos enteros positivos $a$ y $b$. Entonces, para cualquier elección de enteros positivos $a$ y $b$, $t^3$ no es igual a -

1) $4t+3$

2) $8t+5$

3) $10t+3$

4) $6t+5$

Esta pregunta es de un prestigioso examen de becas de la India, y la estoy resolviendo por diversión. Pero no puedo llegar al fondo del problema. También estoy un poco confundido sobre qué concepto utilizar en este problema.

Mi intento en esta pregunta

$t^2 =at +b$
$t = \sqrt{at+b}$

Para $t \in \mathbb{R}$
$at+b \ge 0$

Dado que $a$ y $b$ son enteros positivos $at \ge -b$ y

$t \ge \frac{-b}{a}$

También intenté diferenciar la función $t^2 = at + b$ para obtener

$\frac{d}{dt}(t^2) = a\frac{d}{dt}(t) + 0$

$2t = a$

Desafortunadamente, no lleva a ningún lado. Pero

$\frac{a}{2} \ge \frac{-b}{a}$

Dado que $a$ y $2$ son enteros positivos

$a^2 \ge -2b$

¿Qué se debe hacer a continuación? Por favor ayuda

Answer 1

Pista: $$t^3 = t^2\cdot t \\= (at+b)\cdot t \\= at^2 + bt \\= a(at+b) + bt \\= (a^2 + b)t + ab$$

Answer 2

Supongamos que $t^3$ es igual a $ut+v$ (donde $u=4$, $v=3$ para la primera parte, etc.). Entonces $t$ es una raíz del polinomio cúbico $$f(X)=X^3-uX-v \in\Bbb Z[X]$$ así como del polinomio cuadrático $$g(X)=X^2-aX-b \in\Bbb Z[X].$$ Pero entonces $t$ también es una raíz de $$f(X)-Xg(X) =aX^2+(b-u)X-v$$ y también de $$h(X)=(f(X)-Xg(X))-ag(X)=(a^2+b-u)X+ab-v. $$ Hay dos posibilidades:

• Si $a^2+b=u$ entonces concluimos que $ab=v$. Dos de las partes del problema te permiten encontrar $a,b$ con estas propiedades. Dado que el correspondiente $g(X)$ tiene dos raíces reales (el discriminante $a^2+4b$ es ciertamente positivo), en estos casos es posible que $t^3=ut+v$.

• Si $a^2+b\ne u$, $h(X)$ tiene una raíz única $t$ y es racional. Por el teorema de la raíz racional, $t$ debe ser de hecho un entero y estar entre los divisores firmados de $v$. Convenientemente, $v$ es primo en todas las partes del problema, así que solo necesitas verificar si $t\in\{v,1,-1,-v\}$ para determinar si $t^3=ut+v$. Es decir, verifica si $v^2=u+1$ o $u=0$ o $v=u-1$ o $v^2=u-1$.