Actualmente estoy leyendo el capítulo 10 de Quantum Phase Transitions de Subir Sachdev (1st ed.). El capítulo 10 consiste en observaciones introductorias sobre el Modelo de Bose-Hubbard. La ecuación (10.8) [Eq. (9.8) en la 2da ed.] da una expresión para el valor de energía del estado base de campo medio, que es la siguiente:
$$ \frac{E_0}{N} = \frac{E_{\text{MF}}(\Psi_B)}{N} - zw\langle\hat{b}^\dagger \rangle\langle \hat{b}\rangle + \langle \hat{b}\rangle \Psi^*_B + \langle \hat{b}^\dagger\rangle \Psi_B $$
Aquí $E_{\text{MF}}(\Psi_B)$ es el valor de energía del estado base del hamiltoniano de campo medio como función de $\Psi_B$, un campo que representa la influencia de los sitios vecinos. $N$ es el número de sitios en la red, $z$ es el número de coordinación de la red, $w$ es la amplitud de salto, y los valores esperados se evalúan con respecto al estado base del hamiltoniano de campo medio.
El texto dice que al derivar la ecuación anterior con respecto a $\Psi_B$, el valor óptimo de $\Psi_B$ es $zw\langle\hat{b} \rangle$. Para demostrar esto, tomé la derivada del lado derecho y lo igualé a cero. Esto me dio
$$ \frac{1}{N}\frac{\partial }{\partial \Psi_B}E_{\text{MF}}(\Psi_B) +\langle \hat{b}^\dagger\rangle = 0 $$
Esto no me da el valor óptimo afirmado. ¿Dónde cometí mi error? ¿Cómo puedo demostrar que el valor óptimo de $\Psi_B$ es $zw\langle\hat{b} \rangle$?
