Pregunta de la teoría del campo medio

Question

Actualmente estoy leyendo el capítulo 10 de Quantum Phase Transitions de Subir Sachdev (1st ed.). El capítulo 10 consiste en observaciones introductorias sobre el Modelo de Bose-Hubbard. La ecuación (10.8) [Eq. (9.8) en la 2da ed.] da una expresión para el valor de energía del estado base de campo medio, que es la siguiente:

$$\frac{E_0}{N} = \frac{E_{\text{MF}}(\Psi_B)}{N} - zw\langle\hat{b}^\dagger \rangle\langle \hat{b}\rangle + \langle \hat{b}\rangle \Psi^*_B + \langle \hat{b}^\dagger\rangle \Psi_B$$

Aquí $E_{\text{MF}}(\Psi_B)$ es el valor de energía del estado base del hamiltoniano de campo medio como función de $\Psi_B$, un campo que representa la influencia de los sitios vecinos. $N$ es el número de sitios en la red, $z$ es el número de coordinación de la red, $w$ es la amplitud de salto, y los valores esperados se evalúan con respecto al estado base del hamiltoniano de campo medio.

El texto dice que al derivar la ecuación anterior con respecto a $\Psi_B$, el valor óptimo de $\Psi_B$ es $zw\langle\hat{b} \rangle$. Para demostrar esto, tomé la derivada del lado derecho y lo igualé a cero. Esto me dio

$$\frac{1}{N}\frac{\partial }{\partial \Psi_B}E_{\text{MF}}(\Psi_B) +\langle \hat{b}^\dagger\rangle = 0$$

Esto no me da el valor óptimo afirmado. ¿Dónde cometí mi error? ¿Cómo puedo demostrar que el valor óptimo de $\Psi_B$ es $zw\langle\hat{b} \rangle$?

Answer 1

Para derivar la relación correcta, primero es necesario recordar que $\langle b\rangle$ no es algún parámetro independiente, es el valor esperado de $b$ en el estado fundamental de campo medio que también depende de $\Psi_B$. Luego también necesitamos evaluar $\partial E_\text{MF}/\partial \Psi_B$, lo cual puede obtenerse utilizando el teorema de Hellman-Feynman.