Después de leer sobre el pequeño teorema de Picard, el gran teorema de Picard y el gran teorema de Picard para funciones meromorfas y similares, comencé a pensar.
Estos teoremas hablan sobre tomar cada valor aparte de 1 o 2 para funciones enteras o funciones con singularidades esenciales.
Pero ¿qué sucede cuando tenemos funciones analíticas sin singularidades esenciales?
Por ejemplo, $\ln(z)$ no toma muchos valores. Pero $\sqrt z$ toma todos los valores complejos.
La mayoría de las funciones analíticas tienen una singularidad esencial en el infinito, así que ¿asumo que toman todos los valores aparte de como máximo 2 valores? (usando el gran teorema de Picard y mapeando el infinito al finito).
¿Puede el rango de una función analítica ser "complicado", es decir, puede tener una topología complicada con muchos agujeros y bifurcaciones?
Anticipo que la forma en que elegimos las ramas influye en el rango, ¿pero creo que la cardinalidad de los valores que no tomamos no cambia por eso?
Para empezar de manera simple y no tan general pregunto:
¿Existe una función analítica que tome todos los valores aparte de 3 números?
Y por favor, da un ejemplo.
Busqué en los libros pero no pude encontrar ningún teorema que afirmara que una función analítica no puede tomar todos los valores aparte de 3 números. Así que supongo que el asunto es o muy trivial o muy complicado?
¿La cartografía de Riemann ayuda aquí?
