¿Es cada vector en $\mathbb Z^3$ un producto cruzado?

Question

¿Es todo vector tridimensional $3$-dimensional $v$ con coordenadas enteras un producto cruzado de otros dos vectores con coordenadas enteras?

He escrito un programa para verificar $v$ con entradas entre $-7$ y $7$. Cada $v$ tan pequeño puede expresarse como un producto cruzado de otros dos vectores con coordenadas enteras.

Pero no puedo encontrar una prueba general.

Además de la evidencia empírica de mi experimento sobre $v$ pequeños, otra razón para creer que esto es cierto es que casi es suficiente encontrar dos vectores independientes pequeños, $u$ y $w$, con coordenadas enteras que sean perpendiculares a $v$. Jugar con algoritmos de relación de enteros me ha enseñado que tales $u$ y $w$ deberían ser abundantes. El producto cruzado de $u$ y $w$ es un múltiplo escalar de $v$ - llámalo $kv$. $k$ es un entero; en la mayoría de los casos $|k| = 1$. Si no lo es, elige un $u$ y un $w$ diferentes.

Una pregunta similar pero mucho más fácil fue esta: ¿Es todo vector en $\Bbb R^3$ un producto cruzado?.

Nota: La respuesta dada aquí se utilizó para resolver ecuaciones diofánticas, por lo que la pregunta es sobre teoría de números.

Answer 1

Consideremos $v=(a, b, c)$, y los tres vectores $$ w_1=(0, c, -b), \quad w_2=(-c,0,a), \qquad w_3=(b, -a, 0). $$ Observamos que $w_1 \times w_2=cv$, $w_1 \times w_3=-bv$. Definimos $d=\gcd(b, c)$, y lo escribimos como $d=\lambda b+\mu c$, de modo que $$ \frac{w_1}{d} \times\left( \mu w_2-\lambda w_3 \right)=v. $$ Aquí $\mu w_2-\lambda w_3$ y $w_1/d$ tienen coordenadas enteras, como podemos comprobar fácilmente.