Integral Asymptotics para inhomogenous fase

Question

Estoy buscando asymptotics para una integral de la forma:

$$F(n):=\int_{1/2-i\infty}^{1/2+i\infty} e^{\phi(n,z)}dz$$

donde $\phi(n,z)=(n-n^3)\log(1-z)+n^2\log(1+z)-n\log(z)$. Uno puede resolver los puntos de silla de $\phi$:

$$z_{1,2}=\frac{1-n-n^2\pm \sqrt{1-6n+3n^2+2n^3+n^4}}{2(n^2-n)},$$

con la serie de taylor:

$$z_1=-1-\frac{2}{n}+O(1/n^2)$$ $$z_2=\frac{1}{n^2}+O(1/n^3).$$

Se parece a $z_2$ es el máximo de la silla, y $z_1$ el mínimo. Así que para obtener asymptotics de $F(n)$, tenemos que deforman la vertical de la línea de contorno de la mayor descenso de contorno, pasando por $z_2$. La mayor descenso de contorno se parece a esto:

Tengo algunas preguntas. En primer lugar, estoy teniendo problemas para resolver para el contorno de steepest-descenso a través de las $z_2$, en otras palabras $Im(\phi(n,z))=0$, pasando a través de $z_2$. La ecuación es bastante desagradable, y probablemente trascendental. Es suficiente para, de alguna forma aproximada este contorno con un poco de orden en $n$? La cuestión es que estoy pensando que necesito para parametrizar la mayor descenso de contorno con algunos corriendo variable $t$, por lo que el $\Gamma_t=z_2+f_n(t)$ donde $f_n(0)=0$. También, $z_2$ depende de $n$, y así estoy pensando necesito una parametrización de $\Gamma_t$ que de alguna manera uniforme en $n,t$ $t$ cerca de cero y $n$ grandes.

En última instancia, parece que tengo que realizar algún tipo de reescalado de la integral en términos de $z$. Yo estaba pensando tratando de $u=z\cdot z_1$, por lo que el punto de silla es trasladado a $u=1$. Pero todavía estoy atascado en obtener algún tipo de uniforme estimación del $\phi(n,z)$ cerca de $z_1$, a lo largo del contorno de steepest descent.

Tenga en cuenta que la integral tiene singularidades en$z=\pm 1$$z=0$. En particular, $z_2\rightarrow 0$, por lo que esto complica aún más expansiones de taylor de $\phi(n,z)$ cerca de $z_2$. También he notado que los $\phi^{(k)}(n,z_1)$ parece una creciente polinomio en $n$, por ejemplo,$n^k$, así que me parece que no puede truncar serie de taylor para $\phi(n,z)$$z_1$, de modo que es uniforme en $n,z$.

Nunca he visto a la literatura en tales inhomogenous steepest descent problemas. Una sería la referencia sinceramente apreciada!

Answer 1

El poder del método de steepest decente es el hecho de que usted no tiene que obtener el contorno de la "derecha". Tener el punto de silla y la correcta "dirección" es suficiente. La razón es que para $n\to \infty$, la integral es exponencialmente dominado desde puntos cercanos al punto de silla y todo a lo largo del contorno de la distancia desde el punto de silla es insignificante. Para una referencia, echa un vistazo a "Avanzados Métodos Matemáticos" por Orszag y Bender.

Para su caso específico con $\phi(n,z)=(n-n^3)\log(1-z)+n^2\log(1+z)-n\log(z)$. Como usted ha notado, tenemos dos puntos de silla en$z_1 \approx -1 $$z_2 \approx 0$. Para el primer punto de silla, la dirección de la empinada decente a lo largo del eje real (como puede ser comprobada mediante el cálculo de la segunda derivada). El segundo punto de silla se adapte a nuestras necesidades como su mayor decente es largo, el eje imaginario.

El punto de silla se caracteriza por la expansión de las $\phi$ $z^*=z_2$ a de segundo orden. Obtenemos al líder de la orden (en $n$) $$ \phi \sim \phi_2= (2 \log n -1) n + \frac{n^5}{2} (z-z^*)^2 .$$

La idea de que el método de la más empinada decente, es escribir $\phi = \phi_2 + \delta \phi$. Obtenemos $$F(n) = \int_{-1/2-i \infty}^{1/2+i \infty}\!dz\, e^{\phi_2 + \delta \phi}.$$ En el siguiente paso, nos deforman el contorno que pasa a través de $z^* \approx n^{-2}$ (paralela al eje imaginario). Entonces sabemos que la integral es dominado por los puntos cercanos a$z^*$, por lo que podemos expandir$\exp(\delta \phi)$$z=z^*$. El líder término es (con $z = z^* + i \xi $) $$F(n) \sim i \underbrace{e^{2n+1}}_{\exp(\delta \phi|_{z=z^*})} \int_{-\infty}^{\infty} \!d\xi\, e^{\phi_2} = i \sqrt{2\pi} e^{n+1} n^{2n-5/2},$$ donde hemos descuidado términos que se desvanecen para$n\to \infty$$\delta \phi$.