Usa la definición de límite para demostrar que: $\lim_{x\to-1} (x^2-2x-1) = 2$

Question

Tengo algunas preguntas sobre este ejemplo:

Utiliza la definición de límite para demostrar que:

$$\lim_{x\to-1} (x^2-2x-1) = 2$$

Prueba: $\vert(x^2-2x-1) - 2\vert$ = $\vert x^2-2x-3 \vert$ = $\vert x-3 \vert$$\vert x+1 \vert$ $\lt$ $3\vert x+1 \vert$ siempre que $\vert x-(-1) \vert \lt$ $1$ nota que $\vert x-(-1) \vert = \vert x+1 \vert \lt 1$ entonces $0 \lt x \lt 2 $ y $ -3 \lt x-3 \lt -1$ entonces $\vert x-3 \vert \lt 3$ sea $\epsilon \gt 0 $ sea arbitrario y $\delta = \min(1,\epsilon/3)$. Entonces $\vert (x^2 - 2x -1) - 2 \vert \lt 3 \vert x+1 \vert \lt 3 * (\epsilon/3) = \epsilon$ siempre que $0 \lt \vert x - (-1) \vert \lt \delta $

Mi pregunta es de donde obtiene $3 \vert x+1 \vert$ y de donde obtiene $\delta = \min(1,\epsilon/3) $.

Answer 1

Él elige $\delta = \min(1,\frac{\epsilon}{3})$, porque puede elegir arbitrariamente $0 < |x - (-1)| < \delta$ a medida que $x$ se acerca a $-1$.

La razón detrás de esto es que queremos mostrar que para cualquier $\epsilon$, si la distancia de $x$ a $-1$ se establece en un número pequeño, entonces la distancia de la función del límite es menor que ese $\epsilon$.

Muestra el trabajo anteriormente que $|x - 3| < 3$, entonces $|x - 3||x + 1| < 3|x + 1|$. A partir de ahí elige el mínimo para $\delta$ para que la expresión $3|x + 1|$ se reduzca solo a $\epsilon$. Puedes hacer eso porque puedes elegir números tan cercanos a $-1$ como desees para $x$, por lo que no hay nada malo en establecer $\delta$ como $\frac{\epsilon}{3}$ donde $0 < |x - (-1)| < \delta.