En la ley del triángulo de la suma de vectores, ¿cómo podemos probar que el vector resultante de a y b apunta en la dirección de c? 
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Si entiendo tu pregunta correctamente, esto es una cuestión de definición. Si te dan dos vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$, entonces, por definición, la suma de los dos vectores es $\vec{AC}.
Si esto no es satisfactorio, digamos que tienes tres puntos $A = (a_1, a_2, a_3)$ y $B = (b_1, b_2, b_3)$ y $C = (c_1, c_2, c_3)$. Entonces, por definición, el vector de $A$ a $B$ es $$ \vec{AB} = \pmatrix{b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b3 - a_3}. $$ Si usas esta definición, entonces no es difícil mostrar que $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Win Vineeth
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El vector $a$ se puede pensar como yendo desde el punto $A$ hasta $B$. Del mismo modo, el vector $b$ va de $B$ a $C$ y el vector $c$ va de $A$ a $C.
Fuiste de $A$ a $B$ y luego de allí a $C$. En total, fuiste de $A$ a $C.
Entonces, $a$+$b$=$c$
Nota: No solo es en la dirección de $c$, sino que de hecho es igual a $c
Archis Welankar
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Ten en cuenta que podemos demostrarlo usando física. Deja que la distancia recorrida por una partícula sea $a+b$ según tu figura. Pero el desplazamiento es $c$. Ahora el triángulo es $90$ en $B$ por lo que conocemos la magnitud del resultado es $\sqrt{a^2+b^2+2abcos(90)}=\sqrt{a^2+b^2}$ también la magnitud de $c$ es $√c^2$ así que si elevamos ambos al cuadrado obtenemos $a^2+b^2,c^2$ pero son iguales según el teorema de Pitágoras por lo tanto no solo el vector resultante sino la magnitud de ambos vectores es la misma. También de otra manera completa el paralelogramo y por la ley del paralelogramo de los vectores, el resultado de los vectores adyacentes es la diagonal. ahora como |d| que es paralelo a $|b|$ son iguales, de ahí sigue el resultado.
