¿Cuándo no hay conjuntos nulos en un espacio de probabilidad?

Question

Recuerdo que mi profesor dijo que en algunos casos no habrá otro conjunto nulo que el trivial (el conjunto vacío), pero no puedo recordar exactamente la condición. He estado pensando y convenciéndome de que para conjuntos finitos, equipados con el conjunto de potencia y una medida de probabilidad definida a través de la medida de conteo, la afirmación sería bastante obvia, pero ¿qué pasa con un espacio de estado numerable?

Mi razonamiento es que es importante en expectativas condicionales, ya que entonces no tendríamos que trabajar con versiones de la expectativa condicional.

Espero que alguien pueda ayudarme a darme alguna idea,

Henrik

Answer 1

Edición: Estoy asumiendo que todos los singletons son medibles. Ver los comentarios a continuación. (Esta es una suposición razonable. En muchos casos, la medida de probabilidad vive en un espacio topológico en el que los singletons son cerrados y todos los conjuntos de Borel son medibles.)

Solo existe el conjunto nulo trivial si cada singleton tiene medida positiva. Así que en el caso contable, si el espacio subyacente es $\mathbb N$, podrías asignar a cada $\{n\}$, $n\in\mathbb N$, la medida $2^{-n-1}$.
Esto genera un espacio de probabilidad sin ningún conjunto no trivial de medida $0$.

Si tu espacio es incontable, siempre tendrás un singleton de medida 0, ya que no puede haber innumerables conjuntos medibles mutuamente disjuntos de medida positiva.

En cuanto a eliminar los conjuntos nulos, sí, siempre puedes considerar el $\sigma$-álgebra de conjuntos medibles y factorizar el ideal de conjuntos de medida 0. Esto te da el álgebra de medida del espacio, y el único elemento de medida 0 de esta álgebra es la clase de equivalencia del conjunto vacío, pero este proceso no te da un espacio de probabilidad como tal, solo un álgebra de Boole completa.