Función inversa a $f(t)=3t+4ln(t+1)=y$

Question

Tengo que invertir la función $f(t)=3t+4\ln(t+1)=y$, entonces $f^{-1}(y)=t$. Pero estoy teniendo problemas para invertirla. ¿Existe una solución?

Answer 1

La función de Lambert W $W(y)=z$ tiene la propiedad de que si $y=ze^z$, entonces $z=W(y)$.

Entonces, el enfoque estándar es tratar de obtener la expresión en la forma $Y=Te^T$, donde $T$ es algo a partir de lo cual podemos obtener fácilmente $t$ y $Y$ es una función de $y.

Así que en este caso comenzamos exponentiando ambos lados: $e^{\frac{y}{4}}=(1+t)e^{\frac{3}{4}t}$. Multiplicando ambos lados por $\frac{3}{4}e^{\frac{3}{4}}$ obtenemos $\frac{3}{4}e^{\frac{y+3}{4}}=\frac{3}{4}(1+t)e^{\frac{3}{4}(1+t)}$

Por lo tanto, si establecemos $Y=\frac{3}{4}e^{\frac{y+3}{4}}$ y $T=\frac{3}{4}(t+1)$, la ecuación se convierte en $Y=Te^T$. Así que podemos usar la propiedad de la función de Lambert para obtener $T=W(Y)$, por lo tanto, $t=-1+\frac{4}{3}W(\frac{3}{4}e^{\frac{y+3}{4}})$.