Demostrar que $\lfloor x\rfloor \geq y$ si, y solo si, $x\geq\lceil y\rceil$

Question

Tengo problemas para demostrar que si $x,y\in\mathbb{R}$ entonces $\lfloor x\rfloor \geq y$ si, y solo si, $x\geq\lceil y\rceil$.

He intentado diferentes enfoques, el más reciente siendo una prueba por contradicción: Supongamos (para contradicción) que $x<\lceil y\rceil$, entonces $\lfloor x\rfloor < y +1$. Sin embargo, no puedo (por supuesto) deshacerme del término $+1$ porque en general $y \leq\lceil y\rceil$.

¿Se puede quizás demostrar que tanto la función piso como la función techo preservan desigualdades? Si es así, el resultado se vuelve trivial.

Se agradecen mucho cualquier idea.

Answer 1

Tenga en cuenta que $ \lfloor x \rfloor \ge y$ implica $ \lfloor x \rfloor \ge \lceil y\rceil $, por lo tanto $x\ge \lceil y\rceil$.

La otra dirección es similar.

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Si lo anterior no está claro, recuerde que $\lceil y \rceil $ se define como el entero no menor que $y$, es decir, si $C(y)$ es el conjunto $ C(y):= \{n\in\mathbb Z:n\ge y\}$, entonces $$ \lceil y\rceil = \inf C(y).$$ La suposición $\lfloor x\rfloor \ge y $ es justamente que $\lfloor x\rfloor \in C(y)$. Lo único que queda es usar la propiedad definitoria de un ínfimo, $$c \in C(y) \implies \inf C(y) \le c.$$

Answer 2

Pista: $$ \lfloor x\rfloor\geq y\iff \lfloor x\rfloor\geq\lceil y\rceil\iff x\geq\lceil y\rceil. $$

Answer 3

Necesitamos probar ambas direcciones, eso es

• $\lfloor x\rfloor \geq y \implies x\geq\lceil y\rceil$

y

• $x\geq\lceil y\rceil \implies \lfloor x\rfloor \geq y $

Para el primero tenemos que

$$\lfloor x\rfloor \geq y \implies \lfloor x\rfloor \geq \lceil y\rceil $$

y por lo tanto

$$x\ge \lfloor x\rfloor \geq \lceil y\rceil \implies x\geq\lceil y\rceil$$

Para el segundo tenemos que

$$x\geq\lceil y\rceil \implies \lfloor x\rfloor \geq \lceil y\rceil $$

y por lo tanto

$$\lfloor x\rfloor \geq \lceil y\rceil \ge y \implies \lfloor x\rfloor \ge y$$

Answer 4

Necesitamos las siguientes propiedades elementales de las funciones piso y techo: $a\ge\lfloor a\rfloor$, $\lceil\lfloor a\rfloor\rceil=\lfloor a\rfloor$, $a\ge b\implies\lceil a\rceil\ge\lceil b\rceil$, y $\lceil a\rceil=-\lfloor-a\rfloor$.

A partir de las tres primeras propiedades elementales, tenemos, para cualquier real $u$ y $v$,

$$\lfloor u\rfloor\ge v \implies u\ge\lfloor u\rfloor=\lceil\lfloor u\rfloor\rceil\ge\lceil v\rceil$$

entonces, al dejar $u=x$ y $v=y$ obtenemos

$$\lfloor x\rfloor\ge y\implies x\ge\lceil y\rceil\qquad(*)$$

mientras que al dejar $u=-y$ y $v=-x$ obtenemos

$$\lfloor-y\rfloor\ge-x\implies-y\ge\lceil-x\rceil$$

Invocando ahora la cuarta propiedad elemental, esa última implicación se convierte en

$$-\lceil y\rceil\ge-x\implies-y\ge-\lfloor x\rfloor$$

lo cual puede ser reexpresado como

$$x\ge\lceil y\rceil\implies\lfloor x\rfloor\ge y\qquad(**)$$

Al combinar $(*)$ y $(**)$, tenemos

$$\lfloor x\rfloor\ge y\iff x\ge\lceil y\rceil$$