Si {$e_k$} es un sistema ortogonal de vectores en un espacio de Hilbert $H$, $Y_n=$span{$e_k$} $k=1,...,n$ y $S_n=\sum_{k=1}^n(x,e_k)e_k, x\in H$. ¿Cómo mostrar que $S_n$ es la proyección ortogonal de $x$ en $Y_n$?
Mi intento: Dado que $Y_n$ es un subespacio, cada $x \in H$ se puede escribir de manera única como $x=m+n$ donde $m=\sum_{k=1}^n(m,e_k)e_k$ y $n \perp Y_n$. Entonces,
$x=\sum_{k=1}^n(m,e_k)e_k+n$
Dado que $n \perp Y_n$, para cualquier $y=\sum_{k=1}^n(y,e_k)e_k$, tenemos $(n,y)=0$
obtenemos,
$(x,\sum_{k=1}^n(y,e_k)e_k)-(\sum_{k=1}^n(m,e_k)e_k,\sum_{k=1}^n(y,e_k)e_k)=0$
lo cual se reduce a
$\sum_{k=1}^n[(x-m,e_k)(y,e_k)]$ que es cierto para cualquier $y$. ¿Puedo concluir que $x=y$? ¿Y cómo proceder?
