Estimación de energía de Navier Stokes

Question

Actualmente estoy tomando un curso de Mecánica de Fluidos con el que estoy luchando bastante. No tengo la mejor base en matemáticas. En particular, no logro deducir la siguiente estimación de energía para la ecuación de Navier-Stokes. Si alguien pudiera ayudarme a entender dónde estoy equivocado, lo apreciaría.

Consideremos las ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles en un dominio acotado $\mathbb{T}_d$ con condiciones de contorno periódicas. Sabemos que las ecuaciones de Navier-Stokes pueden expresarse como

$$\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{u}=\nu\Delta\mathbf{u}-\nabla(p+\frac{1}{2}|\mathbf{u}|^2)+\mathbf{f}$$

Luego, podemos encontrar $\frac{d}{dt}\|\mathbf{u}\|^2_{L^2}$ y utilizar la desigualdad de Holder junto con las desigualdades de Young y Poincaré para deducir que

$$\frac{d}{dt}\|\mathbf{u}\|^2_{L^2}+2\nu\|\nabla\mathbf{u}\|_{L^2}^2\leq\delta\|\mathbf{u}\|_{L^2}^2+\frac{1}{\delta}\|\mathbf{f}\|_{L^2}^2$$

A partir de aquí, podemos integrar la ecuación diferencial para encontrar.

$$\|\mathbf{u}(\cdot,t)\|^2_{L^2}\leq \|\mathbf{u}(\cdot,0)\|^2_{L^2}\exp(-\nu t/c^2)+\bigg(\frac{c^2}{\nu}\bigg)^2\|\mathbf{f}(\cdot,t)\|_{L^2}^2(1-\exp(-\nu t/c^2))$$

Pero lo que no entiendo es que a partir de aquí podemos establecer que para $T>0$

$$\mathbf{u}\in L^{\infty}([0,T];L^2(\mathbb{T}^d,\mathbb{R}^d))$$

También, si integramos la ecuación diferencial antes de aplicar la desigualdad de Poincaré, podemos encontrar

$$\|\mathbf{u}(\cdot,t)\|^2_{L^2}+\frac{\nu}{c^2}\int_0^T\|\nabla\mathbf{u}(\cdot,\tau)\|_{L^2}^2d\tau\leq \nu \int_0^T\|\mathbf{u}(\cdot,\tau)\|_{L^2}^2d\tau+\frac{1}{\nu}\int_0^T\|\mathbf{f}(\cdot,\tau)\|_{L^2}^2d\tau$$

Nuevamente, no entiendo por qué esto significa que para cualquier $T>0$

$$\mathbf{u} \in L^2([0,T];H^1(\mathbb{T}^d,\mathbb{R}^d))$$ y así

$$\mathbf{u} \in L^{\infty}([0,T];L^2(\mathbb{T}^d,\mathbb{R}^d))\cap L^2([0,T];H^1(\mathbb{T}^d,\mathbb{R}^d))$$

Muchas gracias.

Answer 1

Primero que todo, la ecuación que escribiste no son las bien conocidas ecuaciones de Navier-Stokes ya que incluiste el término $\omega$, el término $\omega$ representa la vorticidad y se obtiene al tomar el rotor de la velocidad $u$. Pero, no hay problema, volvamos a la famosa ecuación de Navier Stokes que puede escribirse como \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t}+(u\cdot\nabla)u&= \Delta u -\nabla p\\ \nabla\cdot u &=0. \end{align} Antes de pasar a la desigualdad de energía, se puede eliminar el término $p$ que representa la presión aplicando la proyección de Helmholtz-Leray u cualquier otra herramienta matemática. Además, debes saber que hay todo un análisis que se debe realizar antes de hablar sobre las estimaciones de energía y aquí hay un esquema de este análisis: Una condición global de Lipschitz conduce a existencia y unicidad globales, mientras que (ya que no se tiene una condición global de Lipschitz), es necesario establecer una condición de Lipschitz local que generalmente conduce solo a la existencia y unicidad local. Sin embargo, una condición de Lipschitz local complementada con algunos límites a priori adicionales, si los límites apropiados existen y pueden encontrarse, conduce a la existencia y unicidad global. Y finalmente, sin una condición de Lipschitz local nuestra construcción de una solución continua a través de la iteración de Picard es dudosa y además, incluso si se puede encontrar una solución continua por algún otro medio, no necesariamente es única. Ahora, dado que la ecuación de Navier-Stokes no es una ecuación diferencial ordinaria sino más bien una EDP, debes aproximar la ecuación utilizando, por ejemplo, el esquema de aproximaciones de Galerkin. Ahora, formalmente regresemos a la estimación de energía:

Para obtener la estimación de energía debes tomar el producto interno en $L^2(\mathbb{T}^d)$ de la mencionada ecuación de Navier-Stokes contra $u$, uno infiere que \begin{align} \langle\frac{\partial u}{\partial t}, u\rangle_{L^2}+\langle(u\cdot\nabla)u,u\rangle_{L^2}&= \langle\Delta u,u\rangle_{L^2}. \end{align} Ahora, utilizando el hecho de que $\langle\frac{\partial u}{\partial t}, u\rangle_{L^2}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{L^2}^2$ y mediante la integración por partes de $\langle\Delta u,u\rangle_{L^2}$, se obtiene: \begin{align} \frac{d}{dt}\|u(t)\|_{L^2}^2+2\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2\leq |\langle(u\cdot\nabla)u,u\rangle_{L^2}|. \end{align> Como mencionaste en tu pregunta, puedes aplicar las desigualdades de producto de Holder y de Young varias veces y usar la ley de cancelación para deshacerte del término $|\langle(u\cdot\nabla)u,u\rangle_{L^2}|$ para obtener la desigualdad de energía \begin{align> \|u(s)\|_{L^2}^2+\int_0^s\|\nabla u(t)\|_{L^2}^2dt\leq \|u(0)\|_{L^2}^2. La respuesta a tu pregunta consiste en informarte que para cualquier función $f\in \mathbb{R_+} \times \mathbb{T}^d$, se tiene: \begin{align> \|f\|_{L^\infty(\mathbb{R_+};L^2)}^2&= \sup\limits_{t\in \mathbb{R}_+}\|f(t)\|_{L^2}^2\\ \|f\|_{L^2(\mathbb{R_+};\dot{H}^1)}^2&= \int_{\mathbb{R}_+}\|\nabla f(t)\|_{L^2}^2dt. \end{align> Añadiendo la información de que $\|u(0)\|_{L^2}$ es constante. Espero que mi respuesta haya sido clara.