Una conjetura relacionando una integral y una suma, la función piso y cuadrados

Question

He encontrado a través de evidencia y he conjecturado en una publicación matemática que:

$$\Big\lfloor\int_1^\infty (k^{1/(k^{1+1/\sqrt{x}})} - 1)dk\Big\rfloor = \Big\lfloor\sum_{k=1}^{\infty}k^{1/(k^{1+1/\sqrt{x}})} -1\Big\rfloor = x $$

donde $ x \in \mathbb{N}, x>1$.

Es muy difícil calcular estos valores. Se requerirán transformaciones de Shanks repetidas y la Extrapolación de Richardson para computar, o usando técnicas de Pari GP. Antes de que publique un contraejemplo por debajo de 10^7 para la suma, por favor verifique su precisión.

Probar esto ha resultado extremadamente difícil.

Mi pregunta es, ¿alguien tiene alguna sugerencia de cómo demostrar esto? La única información que tengo es que esto es cierto para todas las pruebas de $x$ menor que 10^7 y aún estamos realizando pruebas para las sumas.

No son iguales sin la función de piso, y cada uno iguala a $x + C$, donde $C$ es una constante menor que 1, y $C$ es diferente para la integral y la suma. A medida que $x$ tiende a infinito, $C$ tiende a 1.

Answer 1

En primer lugar, $$k^{1/k^t}=e^{(\log k)/k^t} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\left( \log k \right)^n}{n! k^{n t}}$$ y por lo tanto $$\intop_{1}^{\infty} \left( k^{1/k^t} - 1 \right) d k = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} \intop_{1}^{\infty} \left( \log k \right)^n k^{- n t} d k =$$ $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!} \intop_{0}^{\infty} y^n e^{(1 - n t) y} d y = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n t - 1)^{n + 1}}.$$ Si $t = 1 + 1/\sqrt{x}$ entonces la principal contribución a esta suma es el término $n = 1$ que da una contribución de $x$, por lo que la suma es igual a $$x + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n t - 1)^{n + 1}}.$$ Para que el suelo de este valor sea igual a $x$, entonces debemos tener $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n t - 1)^{n + 1}} < 1$ para cada $t > 1$, o equivalentemente $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)^{n + 1}} \leq 1$. Sin embargo, esto es falso: de hecho, el segundo término solo es igual a $1$, por lo que para $x$ lo suficientemente grande el suelo de la integral es al menos $x + 1$. Lo cierto es que la integral siempre es estrictamente menor que $x + 2$, ya que $$\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)^{n + 1}} < \sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{1}{8}.$$

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Presumiblemente, la suma se puede tratar de manera similar, donde el término principal (que debería ser aproximadamente $x$) sería $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\log k}{k^{1 + 1/\sqrt{x}}}$, y los demás términos contribuirían como máximo con una constante.