Demuestra que $x^2=y^3$ donde $x,y\in \mathbb{Z}$ implica $x=a^3$ y $y=b^2$ donde $a,b\in\mathbb{Z}$

Question

Siento que debo usar la unicidad de la factorización en primos y demostrar que como $\text{lcm}(3,2)=6$ cada primo debería aparecer 6 veces, pero ¿cómo podría justificar esto?

Answer 1

Utiliza la factorización única en números primos.

Primero nota que si $p$ es un factor primo de $x$ entonces $p|x^2$ entonces $p|y^3$ entonces $p|y$. Y si $q$ es un factor primo de $y$ entonces $q|y^3$ entonces $q|x^2$ entonces $q|x$. Así que $x$ y $y$ tienen los mismos factores primos exactos.

Así que si los factores primos distintos de $x$ son $P=\{p_1, p_2, ..... p_n\}$ entonces $x = \prod\limits_{k=1}^n p_k^{a_i}$ para algún $a_i \ge 1$ y $y = \prod\limits_{k=1}^n p_k^{b_i}$ para algún $b_i \ge 1$.

Ahora $x^2 = y^3$ entonces

$(\prod\limits_{k=1}^n p_k^{a_i})^2 = (\prod\limits_{k=1}^n p_k^{b_i})^3$ entonces

$\prod\limits_{k=1}^n p_k^{2a_i}=\prod\limits_{k=1}^n p_k^{3b_i}$ entonces (porque hay una factorización única en números primos del valor $x^2$ que es $y^3$) tenemos:

$2a_i = 3b_i$ lo que significa que $2|3b_i$ para cada $b_i$ y $3|2a_i$ para cada $a_i$. Y como $2,3$ son primos eso significa que $2|b_i$ y $3|a_i$ para cada $b_i$ y cada $a_i$.

Así que cada $b_i = 2c_i$ para algún entero $c_i$. Así que $y = \prod\limits_{k=1}^n p_k^{b_i} = \prod\limits_{k=1}^n p_k^{2c_i}= (\prod\limits_{k=1}^n p_k^{c_i})^2$. Entonces $y$ es un cuadrado perfecto.

Así que cada $a_i = 3d_i$ para algún entero $d_i$. Entonces $x = \prod\limits_{k=1}^n p_k^{a_i} = \prod\limits_{k=1}^n p_k^{3d_i}= (\prod\limits_{k=1}^n p_k^{d_i})^3$. Entonces $x$ es un cuadrado perfecto.

Eso es todo.

Answer 2

Escribe $x^2 = \prod_{i=1}^k p_i^{l_i}$, para algún entero finito positivo $k$ donde $p_i$ es el $i$-ésimo primo y $l_i$ es un entero no negativo. Entonces, como $\prod_{i=1}^k p_i^{l_i}$ es un cuadrado [porque $x$ es un entero], cada $l_i$ debe ser un múltiplo de 2.

Como $\prod^k_{i=1} p_i^{l_i}$ también es un cubo [porque $y$ es un entero], cada $l_i$ también debe ser un múltiplo de 3. Por lo tanto, cada $l_i$ debe ser un múltiplo de 6.

Entonces, $x = \prod_{i=1}^k p_i^{\frac{l_i}{2}}$ [porque $x^2 = \prod_{i=1}^k p_i^{l_i}$] y $y = \prod_{i=1}^k p_i^{\frac{l_i}{3}}$ [porque $y^3 = \prod_{i=1}^k p_i^{l_i}$], lo cual como $l_i$ es un múltiplo de 6, implica que $\frac{l_i}{2}$ es un múltiplo de 3, lo que implica que $x$ es un cubo; es decir, $x= \left(\prod_{i=1}^k p_i^{\frac{l_i}{6}}\right)^3$ con cada $\frac{l_i}{6}$ siendo un entero. Igualmente, $y$ es un cuadrado, es decir, $y= \left(\prod_{i=1}^k p_i^{\frac{l_i}{6}}\right)^2$ con cada $\frac{l_i}{6}$ siendo un entero.

Answer 3

Aquí hay una prueba alternativa que utiliza la factorización única de una manera diferente: Dados $x^2 = y^3$ con $x,y \ne 0$, definimos $a := \frac{x}{y}$. Luego $a^2 = \frac{x^2}{y^2} = \frac{y^3}{y^2} = y$ y $a^3 = \frac{x^3}{y^3} = \frac{x^3}{x^2} = x$.

Resta mostrar que $a \in \mathbb{Z}$. Sabemos que $a \in \mathbb{Q}$ y que $a^2 = y \in \mathbb{Z}$. Ahora, observamos una de las demostraciones estándar de que $\sqrt{2}$ es irracional utilizando la factorización única; esto generalizará de una manera bastante directa para demostrar el hecho deseado de que si $a \in \mathbb{Q}$ y $a^2 \in \mathbb{Z}$, entonces $a \in \mathbb{Z}$.

(Esto también se puede ver como un corolario del hecho de que $\mathbb{Z}$ es cerrado integralmente, ya que $\mathbb{Z}$ es un dominio de factorización única y cualquier dominio de factorización única está cerrado integralmente.)

Answer 4

Aquí hay una prueba por descenso infinito de que $x$ es necesariamente un cubo perfecto. La prueba de que $y$ es un cuadrado perfecto es exactamente de la misma naturaleza.

Supongamos sin pérdida de generalidad que $x,y$ son positivos. Supongamos que existen pares de enteros positivos $(x,y)$ con $x^2=y^3$ pero $x$ no es un cubo perfecto. Elige el par $(x_0,y_0)$ con $x$ mínimo. Claramente $x_0,y_0>1$. Considera un primo $p$ que divide a $x_0$ y escribe $x_0=px_1$. Entonces $p\mid y_0^3\implies y_0=py_1$ para algún $y_1\in\mathbb Z_{\geq 0}$. Así que $$p^2x_1^2=p^3y_0^3\implies x_1^2=py_1^3\implies p\mid x_1$$ Escribe $x_1=px_2$, nuevamente con $x_2$ un entero positivo. Entonces $$p^2x_2^2=py_1^3\implies px_2^2=y_1^3\implies p\mid y_1$$ A continuación, deja $y_1=py_2$. Tenemos que $$px_2^2=p^3y_2^3\implies x_2^2=p^2y_3^3\implies p\mid x_2$$ Finalmente, toma $x_2=px_3$. Nuestra ecuación se convierte en $$p^2x_2^2=p^2y_2^3\implies x_3^2=y_2^3$$ Así que $(x_3,y_2)$ es un par de enteros positivos que satisfacen $x_3^2=y_2^3$, pero claramente $x_3. Una contradicción $\blacksquare$