Demostrar $(|OP|+ |PQ|)^2 > |OQ|^2$

Question

Hice todo el álgebra y por alguna razón estoy obteniendo 0 > $y_2^2$ lo cual claramente está mal.

¿En qué me equivoqué?

Answer 1

En el paso 4 de la última línea, tienes ambos lados son negativos, por lo que no puedes elevarlos al cuadrado. Como la regla: $A > B \to A^2 > B^2$ no se aplica aquí y es cierta solo si $A > B > 0$. Por lo tanto, debería escribirse como: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + y_2^2} > x_2 - x_1$, y ambos lados son positivos, elevando al cuadrado ambos lados: $(x_2 - x_1)^2 + y_2^2 > (x_2 - x_1)^2$ y se reduce a: $y_2^2 > 0$ lo cual es cierto, y estás listo para continuar.

Answer 2

Por el teorema de la desigualdad triangular $$OP + PQ > OQ$$ Y esto también se cumple si elevamos al cuadrado ambos lados de la desigualdad, dado que las longitudes de los segmentos son necesariamente positivas.