Relacionando los elementos máximos de los conjuntos descendentes con los elementos mínimos del complemento

Question

Denotar por $\mathcal{P}(S)$ el conjunto de subconjuntos no vacíos de un conjunto finito $S$.

Supongamos que $A\subset \mathcal{P}(S)$ es un downset, es decir, que cada subconjunto $Q$ de cualquier $P\in A$ también está contenido en $A$. También podemos asumir que los átomos están en $A$, es decir, $\{x\}\in A$ para cada $x\in S.

Ahora, tomemos $\overline{A}=\mathcal{P}(S)\setminus A$. A partir de la definición de un downset, se sigue que $\overline{A}$ es un upset, es decir, que cada subconjunto $Q$ que contenga cualquier $P\in \overline{A}$ también está contenido en $\overline{A}.

Sea $M=\operatorname{max}\{\left|P\right|:P\in A\}$ y $\overline{m}=\operatorname{\min}\{\left|P\right|:P\in \overline{A}\}$.

Parece que estas dos cosas deberían estar relacionadas. Podemos decir una cosa obvia, y es que $M\geq \overline{m} - 1$. ($\overline{m}$ es el tamaño más pequeño de un conjunto no contenido en $A$, por lo que todos los $k$-subconjuntos de $S$ están contenidos en $A$ para cada $k=1,\ldots ,m-1$. Obviamente $M\geq k$ para cada uno de ellos.)

¿Qué se puede decir acerca de la relación entre $M$ y $\overline{m}$? ¿Existe un límite no trivial en $M$ en términos de $\overline{m}$ y $|S|$? ¿Existe alguna referencia que hable sobre esto (y/o otras relaciones que involucren a los miembros de los conjuntos$^\star$ $\{\left|P\right|:P\in A\}$ y $\{\left|P\right|:P\in \overline{A}\}$)?

$^\star$ Nota. Puede ser útil notar que estos conjuntos podrían ser reemplazados por los conjuntos $\{\left|P\right|:P\text{ es un elemento maximal de }A\}$ y $\{\left|P\right|:P\text{ es un elemento minimal de }\overline{A}\}$, respectivamente, sin pérdida de información.

Answer 1

Realmente no se puede decir mucho. Fijemos $s\in S$, y sea $A=\{s\}\cup\wp(S\setminus\{s\})$; $A$ es un conjunto descendente que contiene todos los átomos, $M=|S|-1$, y $\overline m=2. Por otro lado, es fácil obtener$M=\overline m-1$tomando$A=\{a\subseteq A: |a|\leq k\}$para algún$k$.