Más de un género cerrado cadena B-modelo de

Question

El cerrado de la cadena de Un modelo matemáticamente se describe por Gromov-Witten invariantes de un compacto simpléctica colector $X$. El género 0 GW invariantes dan a la estructura cuántica de cohomology de $X$, que es, a continuación, un ejemplo de lo que se denomina colector de Frobenius. El espejo de género 0 B-modelo de la teoría en el espejo colector (o de Landau-Ginzburg modelo) se describe generalmente, matemáticamente, en términos de la variación de Hodge estructura de datos, o algunos de generalización de los mismos.

Ya que el mayor género de Una modelo tiene una buena descripción matemática como mayores género GW invariantes, me pregunto si el mayor género B-modelo tiene una buena descripción matemática así. Costello papel en TCFTs y Calabi-Yau categorías da una respuesta parcial a esta. Se puede decir que GW teoría es el estudio de las álgebras sobre el (homología) operad de compactified (Deligne-Mumford) espacio de moduli; yo digo que Costello da una respuesta parcial porque sólo da un álgebra sobre el operad de uncompactified espacio de moduli. Sin embargo, según el Kontsevich (ver Kontsevich-Soibelman "Notas sobre el infinito..." y Katzarkov-Kontsevich-Pantev), podemos extender esto a los operad de compactified espacio de moduli da algunos supuestos (una versión de Hodge-de Rham degeneración). También hay varios resultados (por ejemplo, Katzarkov-Kontsevich-Pantev, Teleman/Givental) que decir que cuanto mayor sea la teoría de género está determinada únicamente por el género 0 teoría. Pero --- a pesar de que este tipo de resultados, todavía no he visto ninguna de niza descripción matemática de la mayor de género B-modelo que "se encuentra en sus propios", como el mayor entre el género GW invariantes hacer. Sólo he visto el mayor género B-modelo que se describe como una estructura que se obtiene formalmente de género de datos 0, o, como en el caso de Costello de papel, un Calabi-Yau de la categoría, por ejemplo, deriva de la categoría de coherente gavillas de un Calabi-Yau colector, la matriz de factorizations categoría de Landau-Ginzburg modelo, etc.

Así que, mis preguntas son:

• Hay descripciones matemáticas de los mayores género cerrada cadena B-modelo de "pararse sobre sus propios"? Lo que quiero decir es algo que puede definirse sin hacer referencia a otra estructura, como género 47 GW invariantes puede ser definido sin referencia alguna a nivel de género 0 GW invariantes o la Fukaya categoría.

• Género 0 teoría es esencialmente equivalente a la teoría de Frobenius colectores. Lo que un aumento de la teoría de género? Es allí cualquier agradable estructura geométrica detrás de, digamos, el género del 1 de teoría, de forma análoga a la Frobenius colector de la estructura que vamos a salir de género 0 teoría?

Answer 1

Una cosa que falta de esta discusión es aún más misterioso holomorphic ambigüedad (no "anomalía"). BCOV no es determinista, y probablemente debería ser considerado como parte de un esquema general de un B-modelo de tipo topológico de la teoría. Lo que quiero decir es que hay otras soluciones para la BCOV ecuación que no producen GW invariantes. La razón es que BCOV determina la partición la función sólo hasta un holomorphic función en cada género. La elección de este función, análoga a las condiciones iniciales, generalmente no es establecer por la coincidencia de GW invariantes o por la imposición de algún tipo de estructura en las singularidades de CY espacio de moduli.

Creo que no hay una comprensión completa de cómo esta ambigüedad se resuelve, aunque hay casos donde se fija por otras simetrías o propiedades de la totalidad de función de partición.

Answer 2

Esta es una gran pregunta que me gustaría que me entiende la respuesta a mejor. Conozco a dos respuestas vagas, uno basado en derivados de la geometría algebraica y uno basado en la teoría de cuerdas. La primera respuesta, que Costello me explicó y lo más probable misrepeat, es el siguiente. El B-modelo CY X como una extensión de TFT puede ser definido en términos de DAG: consideramos que la worldsheet $\Sigma$ simplemente como un espacio topológico o conjunto simplicial (esto es un reflejo de la falta de instanton correcciones en el B-modelo), y considerar la asignación de espacio de $X^\Sigma$ en el mismo sentido. Por ejemplo, para $\Sigma=S^1$ este es el derivado de bucle espacio (impar tangente bundle) de $X$.. En este idioma es muy fácil decir lo que la teoría asigna a 0 - y 1-variedades: a un punto que asignar coherente poleas en $X$, a una 1-variedad cobordism se le asigna el functor dada por push-pull de poleas entre evidente mapas de asignación de espacios (ver, por ejemplo, la última sección aquí). Por ejemplo, para $S^1$ recuperar homología de Hochschild de $X$. 2-colector de bordisms queremos definir natural de las operaciones de push-pull de funciones, pero para eso necesitamos una medida, y la demanda es la Calabi-Yau de la estructura (junto con la correspondiente DAG versión de Grothendieck-Serre dualidad, que Kevin dijo Lurie) da exactamente esta integración...

De todos modos, que da una respuesta tentativa a la pregunta: el B-modelo asigna a una superficie $\Sigma$ el "volumen" de la asignación de espacio de $X^\Sigma$, que se define en términos de la CY forma. Más concretamente, se cortan $\Sigma$ en pedazos, y el uso de los naturales de las operaciones en la homología de Hochschild, tales como el seguimiento de vinculación e identificación con Hochschild cohomology (y por tanto el par de pantalones de multiplicación).. por supuesto, esta última frase es simplemente decir "usar el Frobenius álgebra estructura en lo que se asigna al círculo" así que realmente no se ocupará de la cuestión - la clave es interpretar el volumen de $X^\Sigma$ correctamente.

La segunda respuesta de la teoría de cuerdas dice que mientras género 0 define una Frobenius colector no debe considerar otros géneros de forma individual, sino como una generación de la serie, es decir, el género está vinculado con la (topológico) de cadena constante de acoplamiento, y juntos se define un único objeto, el topológica de la cadena de la función de partición, que usted debe tratar de interpretar en lugar de término por término. (Este es también el tema de Costello documento sobre la función de partición). Por CIERTO, por género, hay una respuesta concreta en términos de Ray-Cantante de torsión, pero no creo que se extiende obviamente a mayor nivel de género.

En cuanto a cómo interpretar, que es el tema de la famosa BCOV de papel - es decir, el de Kodaira-Spencer teoría de la gravedad. Por un lado, la función de partición se determina de forma recursiva por la holomorphic anomalía de la ecuación, aunque no entiendo que "explica" el mayor género de las contribuciones. Pero en cualquier caso, existe un Chern-Simons tipo de teoría de la cuantización de la deformación de la teoría de la Calabi-Yau, construido a partir de la Kodaira-Spencer dgla en una simple forma, y eso es lo que el B-modelo de cálculo. Una muy inspirador punto de VISTA sobre esto es debido a Witten, quien interpreta la totalidad de la función de partición como la función de onda en un estándar de cuantización geométrica de la imagen para el medio cohomology de la CY (o más sugestivamente, de los módulos de CYs). Esto también está detrás de la Givental de cuantización formalismo para el mayor género de Un modelo, donde el problema no es la definición de los invariantes pero encontrar una manera de calcular.

De todos modos no sé totalmente satisfactoria formalismo matemático para el significado de esta función de partición (y han tratado de obtener de muchas personas), así encantaría escuchar sus pensamientos. Pero el fuerte mensaje de la física es que debemos tratar de interpretar toda esta función de partición - en particular es esta función la que aparece en un millón de formas diferentes bajo diferentes dualidades (por ejemplo, en teoría de gauge, como solución a quantum integración de sistemas, etc, etc...)