¿Por qué no tenemos que demostrar definiciones?

Question

Estoy un nivel de principiante estudiante de matemáticas y he leído recientemente (en un libro escrito por un Tel. D en Educación Matemática) que las definiciones matemáticas no recibe "comprobada". Como en ellos no puede ser probada. ¿Por qué no? Parece que algunas de las definiciones deben tener un fundamento basado en la prueba. Cómo simple (o intuitivo) hace algo tiene que ser para convertirse en una definición? Me refiero a pedir esto y obtener una respuesta clara. Esperemos que esto no es una opinión basada en cuestión, y si es de alguien por favor proporcione la respuesta: "basado en la opinión de la pregunta."

Answer 1

Me gustaría tomar un poco más amplio punto de vista, porque sospecho que su pregunta se basa en un problema muy común entre las personas que están empezando a hacer un "riguroso" o "teorema" a prueba de matemáticas. El problema es que a menudo no reconocen plenamente que, cuando un matemático se define el término, su significado está dado exclusivamente por la definición. Cualquier significado que la palabra tiene en inglés ordinario, es totalmente irrelevante. Por ejemplo, si yo tuviera que definir "Un número es llamado teensy si y sólo si es mayor de un millón", este conflicto lo que los angloparlantes y los diccionarios de pensar "teensy" significa, pero, mientras yo estoy haciendo matemáticas en la base de mi definición, las opiniones de todos los de habla inglesa y los diccionarios son irrelevantes. "Teensy" significa exactamente lo que la definición dice.

Si la palabra "mínimos" ya tenía un significado matemático (por ejemplo, si usted ya había dado una definición diferente), entonces no sería una pregunta si mi definición está de acuerdo con la suya. Que sería algo susceptible a la prueba o refutación. (Y, aunque la cuestión que se discute, debemos usar diferentes palabras en lugar de utilizar "mínimos" con dos posibles significados diferentes; los matemáticos utilizan a menudo "Zduff-teensy" y "Blass-teensy" en tal situación).

Pero si, como suele ser el caso, una palabra sólo tiene una definición matemática, entonces, no hay nada que podría ser matemáticamente demostrado o refutado acerca de la definición. Si mi definición de "mínimos" es el único matemático (que sospecho que es el caso), y si alguien preguntaba "¿'mínimos' realmente significa "mayor que un millón"?", la única respuesta posible sería "Sí, por definición." Una larga discusión acerca de la esencia de teensiness gustaría añadir ningún matemáticamente la información pertinente. (Se podría mostrar que los ponentes que albergaba a unos significado de "mínimos" aparte de la definición. Si es así, debe deshacerse de esa idea.)

(Debo añadir que los matemáticos no suelen dar definiciones que el conflicto de una forma tan violenta con el ordinario significados de las palabras. He utilizado un mal aspecto de ejemplo a destacar la completa irrelevancia de los significados ordinarios.)

Answer 2

Las otras respuestas no se explican los antecedentes de la lógica, que es la clave para la comprensión de este problema. En cualquier sistema formal donde escribimos las pruebas, tenemos que utilizar algún lenguaje formal, que especifica la sintaxis válida de las sentencias, y debemos seguir algunas reglas formales que especifican qué frases nos pueden escribir en qué contextos. En matemáticas lo general, utilizar la clásica lógica de primer orden, que consiste en el lenguaje de la lógica de primer orden clásico y las reglas de inferencia. Este lenguaje es suficiente, pero muy engorroso si no se nos permitió hacer definiciones.

Por ejemplo, si estamos trabajando en la Aritmética de Peano, donde los objetos sólo son números naturales, entonces, si queremos probar que un número impar se multiplica por un número impar es impar, que efectivamente tienen que probar: $\def\imp{\Rightarrow}$

$\forall m \forall n ( \existe una ( m = 2a+1 ) \de la tierra \existe b ( n = 2b+1 ) \imp \existe c ( mn = 2c+1 ) )$.

Ahora seguro que podemos hacerlo y evitar por completo la definición de "raro", pero como los teoremas de crecer en complejidad (y este ejemplo es de un increíblemente trivial teorema) sería simplemente imposible abstenerse de definiciones.

¿Qué es una definición, entonces? En la lógica de primer orden que puede ser comprendido a ser simplemente un shortform para algunos de expresión.

Continuando con el ejemplo anterior, si por cualquier expresión $E$ nos definen "$impar(E)$" significa "$\exists x ( E = 2x+1 )$" donde "$$ x" es una variable que no se utiliza en "$E$", entonces podemos reescribir el teorema como:

$\forall m \forall n ( impar(m) \la tierra impar(n) \imp impar(mn),)$.

Ver? Mucho más corto y más claro.

Answer 3

En una definición, no hay nada que probar porque la forma general de una definición es la siguiente:

Un objeto de $X$ es llamado [nombre] [condiciones].

La razón por la que no hay nada que demostrar es que antes de la definición de [nombre] no está definido (por lo que no tiene contenido). [Condiciones] son como una lista de comprobación de propiedades. Si todas las propiedades de las [condiciones] son verdaderas, entonces $X$ es lo que [nombre].

La razón por la que una definición no puede ser demostrado es que no es un enunciado matemático. Hay no si-entonces en una definición, una definición es simplemente una lista de condiciones; si todas las condiciones se cumplen entonces $X$ es [nombre]. Desde [nombre] no tenía sentido antes de la definición, ni siquiera se puede comprobar que [nombre], lo mismo que las condiciones.

Answer 4

Pensar acerca de definiciones en inglés. Acaban de asignar significados a los símbolos. Es realmente la misma cosa. Si le dije a usted para demostrar que $1 + 1 = 2$, probablemente sería objeto de que $2$ se define como un ser de 1 $+1$. ¿Qué más hay que decir?

Answer 5

Con frecuencia, una definición es dada, y, a continuación, un ejemplo de la prueba de la siguiente manera para mostrar que lo que se ha definido que realmente existe. Algunos autores también intentará motivar a una definición antes de que se la dan: por ejemplo, el estudio de las simetrías de los triángulos y los cuadrados y cómo esas simetrías están relacionados unos con otros, antes de pasar a definir un grupo general.

Una definición se distingue de un teorema o proposición o lema en el que una definición no declarar algún hecho para ser verdad, simplemente asigna significado a cierto grupo de palabras o símbolos. La declaración de un teorema dice que "el tal-y-tal" cosa que es verdad, y, a continuación, debe respaldar la afirmación con una prueba.