Demuestra que $ a_{n}=n-\frac{1}{2}-\frac{3}{8 n}+o\left(\frac{1}{n}\right) $ a medida que $n$ tiende a infinito.

Question

Consideramos la secuencia $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ definida inductivamente por $a_{1}=0$ y $$ a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+n^{2}} $$ para todo $n \geqslant 1$.

(i) Demuestra que $n-1 \leqslant a_{n} \leqslant n$, para todo $n \geqslant 1$.

(ii) Demuestra que $$ a_{n}=n-\frac{1}{2}-\frac{3}{8 n}+o\left(\frac{1}{n}\right) $$ a medida que $n$ tiende a infinito.

---

Para el primero también estoy asombrado. He intentado encontrar los términos generales pero es difícil. Así que no puedo hacer esto. ¡Por favor, amablemente dame una pista o una forma de hacer esto. ¡GRACIAS de antemano!

Answer 1

Se puede demostrar (i) fácilmente usando inducción. En cuanto a (ii), primero define $b_n$ como $$ b_n = a_n - n = \mathcal{O}(1). $$ El hecho de que $b_n$ sea $\mathcal{O}(1)$ se sigue de (i). Usando la aproximación de Taylor y el hecho de que $b_n = \mathcal{O}(1)$, encontramos \begin{align*} b_{n + 1} = \sqrt {b_n + n + n^2 } - n - 1 & = n\left( {1 + \frac{1}{{2n}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{{n^2 }}} \right)} \right) - n - 1 \\ & = - \frac{1}{2} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{n}} \right) = - \frac{1}{2} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{{n + 1}}} \right). \end{align*} Ahora define $$ c_n = a_n - n + \frac{1}{2} = o(1) $$ El hecho de que $c_n$ sea $o(1)$ se sigue del cálculo anterior. Usando la aproximación de Taylor y el hecho de que $c_n = o(1)$, encontramos \begin{align*} c_{n + 1} & = \sqrt {c_n - \frac{1}{2} + n + n^2 } - n - \frac{1}{2} = n\left( {1 + \frac{1}{{2n}} - \frac{3}{{8n^2 }} + o\!\left( {\frac{1}{{n^2 }}} \right)} \right) - n - \frac{1}{2} \\ & = - \frac{3}{{8n}} + o\!\left( {\frac{1}{n}} \right) = - \frac{3}{{8(n + 1)}} + o\!\left( {\frac{1}{{n + 1}}} \right), \end{align*} lo cual es el resultado deseado.