Convergencia normal para series de Fourier en espacios Hardy con $0<p<1$

Question

Corrige $0

Se sabe (ver por ejemplo Duren - Teoría de los espacios $H^p$, teorema 3.3) que el mapa que envía $f\in H^p(D)$ a sus valores en la frontera es un isomorfismo isométrico entre $H^p(D)$ y ${\frak{H}}^p(\mathbb{T})$.

Por otro lado, gracias a un teorema de Hardy y Littlewood (ver por ejemplo Duren - Teoría de los espacios $H^p$, teorema 6.2) se sabe que para cada $f\in H^p(D)$, $f_r:t\mapsto f(re^{it})$ converge distribucionalmente para $r\rightarrow1^-$ a una distribución $F$ en $\mathbb{T}$, y que el mapa $$H^p(D) \rightarrow S'(\mathbb{T}), f\mapsto F$$ es lineal y continuo.

Así, componiendo la inversa del primer mapa con el segundo mapa, obtenemos un mapa lineal continuo $${\frak{H}}^p(\mathbb{T}) \rightarrow S'(\mathbb{T})$$ tal que su restricción a ${\frak{H}}^p(\mathbb{T})\cap L^1(\mathbb{T})$ es la incrustación canónica en $S'(\mathbb{T})$ (la obtenida mediante el emparejamiento integral) y este mapa es obviamente el único continuo que tiene esta propiedad gracias a la densidad de ${\frak{H}}^p(\mathbb{T})\cap L^1(\mathbb{T})$ en ${\frak{H}}^p(\mathbb{T})$.

Componiendo este mapa con la transformada de Fourier, podemos definir los coeficientes de Fourier de funciones en ${\frak{H}}^p(\mathbb{T})$ (nota que esta es la única forma sensata de definirlos, gracias a la propiedad de unicidad mencionada arriba).

Entonces la pregunta: ¿es cierto que para cada $\varphi\in{\frak{H}}^p(\mathbb{T})$, denotando por $e_n$ el $n$-ésimo carácter y por $\hat\varphi(n)$ el $n$-ésimo coeficiente de Fourier de $\varphi$, que: $$||\sum_{n=0}^{N}\hat\varphi(n)e_n-\varphi||_p \rightarrow0, N\rightarrow+\infty?$$

No he encontrado ningún resultado sobre esta pregunta en ningún libro que consulté... ¿alguien puede darme una respuesta y alguna referencia?

Answer 1

La respuesta es no, como sugirió fedja en esta pregunta relacionada. Como contraejemplo, solo toma $$\varphi(t)=\cot(t/2).$$ De hecho, define: $$f(z)=\frac{1+z}{1-z}=1+2\sum_{n=1}^\infty z^n.$$ Tenemos que $\forall p\in(0,1), f\in H^p(D)$ y los valores de frontera de $f$ están representados por $\varphi$, entonces $\varphi\in{\frak{H}}^p(\mathbb{T})$ y $\hat{\varphi}(0)=1$ y $\forall n>0, \hat{\varphi}(n)=2$. Ahora: $$\forall N\in\mathbb{N}, \int_{-\pi}^\pi {|\sum_{n=0}^N\hat\varphi}(n)e^{int}-\varphi(t)|^p\frac{dt}{2\pi}=\frac{1}{2^{1-p}\pi}\int_{-\pi}^\pi|1-e^{it}|^{-p}dt.$$ Entonces: $$||\sum_{n=0}^{N}\hat\varphi(n)e_n-\varphi||_p^p\rightarrow\frac{1}{2^{1-p}\pi}\int_{-\pi}^\pi|1-e^{it}|^{-p}dt>0, N\rightarrow+\infty,$$ por lo que la serie de Fourier de $\varphi$ no converge a $\varphi$ en la norma de $L^p(\mathbb{T})$, ni se acerca más a $\varphi$ en la norma de $L^p(\mathbb{T})$ a medida que $N$ aumenta.