¿Cuál es la diferencia entre interior y interior relativo?

Question

Como se define en Optimización Convexa escrito por Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe, tanto el interior como el interior relativo parecen describir lo mismo: un conjunto que elimina sus puntos de frontera. Entonces, ¿cuál es la diferencia entre estos dos conceptos?

Aquí están las definiciones de estos dos conceptos de Optimización Convexa:

interior: El conjunto de todos los puntos interiores a $C$ se llama el interior de $C$

interior relativo: su interior relativo a la base afín de $C$

Answer 1

El interior relativo de un conjunto es el interior del conjunto cuando se ve como un subconjunto del espacio afín que abarca.

Por ejemplo, el interior del segmento que conecta $(0,0)$ con $(1,1)$ en el plano es vacío, pero el interior relativo es el segmento abierto con esos puntos finales.

Answer 2

Me topé con esta pregunta mientras estudiaba el mismo libro de texto, pero encontré que la respuesta amable de Mariano Suárez-Álvarez, aunque por supuesto apreciada, carecía del detalle que deseaba. Afortunadamente, Justin Rising publicó una respuesta más elaborada a la misma pregunta en Quora. He decidido copiarla y pegarla aquí para el beneficio de otros.

La respuesta de Justin Rising a la misma pregunta en Quora:

Considera $\mathbb{R}^3$ con la métrica euclidiana estándar, y mira el conjunto de puntos $(x, y, 0)$ tal que $x^2 + y^2 \leq 1$. ¿Cuál es el interior de este conjunto?

Un punto está en el interior de un conjunto si puedes dibujar una pequeña bola abierta alrededor de él que esté contenida en el conjunto. Pero para cualquier punto en nuestro conjunto, cualquier bola abierta alrededor de cualquier punto en él contendrá puntos fuera del plano $x-y$, por lo que tiene un interior vacío.

Esto es técnicamente correcto, pero es un comportamiento indeseable. El interior relativo de un conjunto se obtiene mirando el cono afín (http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_hull) del conjunto, que en este caso es $\mathbb{R}^2$, y utilizando la métrica apropiada allí. Entonces, aunque nuestro conjunto tiene un interior vacío, su interior relativo es el interior del disco unitario, que es lo que "realmente debería ser".

Los interiores relativos son muy importantes en la optimización convexa, donde realmente estarías restringiendo el conjunto de problemas que puedes resolver sin motivo alguno si insistieras en utilizar interiores en lugar de interiores relativos.

Surge en los comentarios, y vale la pena añadirlo a la respuesta, que hay muy buenas razones para hablar tanto de interiores como de interiores relativos. El interior relativo solo se define en espacios vectoriales; en particular, tienes nociones de adición y multiplicación escalar para definir un cono afín. Si fuera a definir una topología en las palabras del diccionario, podría hablar del interior de un conjunto de inmediato, pero tendría que hacer bastante trabajo para poder hablar de interiores relativos.

Answer 3

Póngalo de forma simple e intuitiva:

El interior relativo de C se ve desde el espacio afín $\mathrm{aff(C)}$, y el interior de C se ve desde todo el espacio en el que C se encuentra, que a veces es "más grande" que $\mathrm{aff(C)}$. Por ejemplo, en el ejemplo 2.2 del libro de Boyd: El relativo de C se ve desde $\mathrm{aff(C)=R^2}$ mientras que el interior de C se ve desde $\mathrm{R^3}$.

Inspirado en la respuesta de Michal Adamaszek.

Answer 4

El interior $x$ del conjunto $C$ significa que existe una pequeña bola alrededor de $x$, es decir, $\{y| \Vert y-x\Vert\leq r\}$ pertenece a $C$. En este caso, $y$ es una bola 3D mientras que $C$ es un plano cuadrado, por lo que $C$ no tiene interior.

El interior relativo del conjunto $C$ es la intersección de la bola $y$ y aff $C$, por lo que el interior relativo es el conjunto excepto el borde.