Diferencia entre continuidad y continuidad uniforme

Question

Entiendo las diferencias geométricas entre la continuidad y la continuidad uniforme, pero no acabo de ver las diferencias entre ambas a partir de sus definiciones. Por ejemplo, mi libro define la continuidad como:

Definición 4.3.1. Una función $f:A \to \mathbb R$ es continua en un punto $c \in A$ si, para todo $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ de manera que siempre que $|x-c| < \delta$ (y $x \in A$ ) se deduce que $|f(x)-f(c)| < \epsilon$ .

La continuidad uniforme se define como:

Definición 4.4.5. Una función $f:A \to \mathbb R$ es uniformemente continua en $A$ si para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $|x-y| < \delta$ implica $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ .

Sé que en la definición 4.3.1, $\delta$ puede depender de $c$ mientras que en la definición 4.4.5, $\delta$ no puede depender de $x$ o $y$ Pero, ¿cómo se desprende esto de la definición? Por lo que parece, sólo parece que la única diferencia entre la definición 4.3.1 y la definición 4.4.5 es que la letra $c$ se cambió por un $y$ .

Mi opinión es que la primera definición trata $c$ como punto fijo y sólo es $x$ que varía, así que en este caso, $\delta$ puede depender de $c$ desde $c$ no cambia. Mientras que para la segunda definición, ni $x$ o $y$ son fijos, sino que pueden tomar valores en todo el dominio, $A$ . En este caso, si establecemos un $\delta$ de tal manera que dependía de $y$ Entonces, cuando elegimos un $y$ , el mismo $\delta$ puede que ya no funcione. ¿Es esta una interpretación algo correcta?

Se agradecerán más aclaraciones y ejemplos.

Answer 1

En primer lugar, la continuidad se define en un punto $c$ mientras que la continuidad uniforme se define en un conjunto $A$ . Eso supone una gran diferencia. Pero su interpretación es bastante correcta: el punto $c$ es parte de los datos, y se mantiene fija como, por ejemplo, $f$ mismo. A grandes rasgos, la continuidad uniforme requiere la existencia de un solo $\delta>0$ que funciona para todo el conjunto $A$ y no cerca del punto único $c$ .

Answer 2

La diferencia está en el orden de los cuantificadores.

• Continuidad:

Para todos $x$ para todos $\varepsilon$ existe tal $\delta$ que algo algo.

• Continuidad uniforme:

Para todos $\varepsilon$ existe un $\delta$ que para todos $x$ algo algo.

Para que algo sea continuo, se puede marcar "una $x$ a la vez", por lo que para cada $x$ , usted escoge un $\varepsilon$ y luego encontrar algunos $\delta$ que depende de ambos $x$ y $\varepsilon$ para que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ si $|x-y|<\delta$ . Como puedes ver si lo pruebas en $f(x)=1/x$ en $(0,1)$ , puede encontrar tal $\delta$ por cada $x$ y $\varepsilon$ . Sin embargo, si se fija $\varepsilon$ los valores de $\delta$ que necesitas se vuelven arbitrariamente pequeños como $x$ se acerca a $0$ .

Si quiere una continuidad uniforme, tiene que elegir un $\varepsilon$ , entonces encuentra un $\delta$ que es bueno para TODOS los $x$ valores que pueda tener. Como ve, para $f(x)=1/x$ , tal como $\delta$ no existe.

Answer 3

La sutil diferencia entre estas dos definiciones me quedó más clara cuando leí sus definiciones de secuencia equivalentes. Primero tomemos la definición de una función continua.

Definición Una función $f: D\to\mathbb{R}$ se dice que continua en el punto $x_0$ en $D$ siempre que para cada secuencia $\{x_n\}$ en $D$ que converge a $x_0$ la secuencia de imágenes $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x_0)$ .

Ahora compara esto con una función uniformemente continua.

Definición Una función $f: D\to\mathbb{R}$ se dice que uniformemente continua siempre que para dos secuencias cualesquiera $\{y_n\}$ y $\{x_n\}$ en $D$ tienen la propiedad $$\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0,$$ entonces $$\lim_{n\to\infty}(f(y_n)-f(x_n))=0$$

Obsérvese que la segunda definición no menciona la convergencia a un punto, sino que dos secuencias tienden hacia el mismo valor y al mismo ritmo. Estas secuencias pueden ser ambas divergentes cuando están solas, pero sus términos pueden acercarse arbitrariamente entre sí.

El ejemplo clásico es $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2$ es continua pero no uniformemente continua. Tomemos las dos secuencias $\{y_n\}=\{\sqrt{n^2+1}\}$ y $\{x_n\}=\{n\}$ . (Nótese que ambas secuencias divergen). Tomemos la $\lim_{n\to\infty}{y_n-x_n}$ y resolver multiplicando el numerador y el denominador por su conjugado. $$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2 +1-n^2 }{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=0.$$ Ahora, mirando $\lim_{n\to\infty}{f(y_n)-f(x_n)}$ obtenemos lo siguiente $$\lim_{n\to\infty}{(\sqrt{n^2+1})^2-n^2}=\lim_{n\to\infty}{n^2+1-n^2}=1$$ Así que esto va en contra de la definición de continuidad uniforme. Necesitamos que la diferencia de valores de la función también vaya a $0$ para que sea uniformemente continua.

Answer 4

Permítanme centrarme en esta parte de la pregunta:

"Sé que en la definición 4.3.1, $\delta$ puede depender de $c$ mientras que en la definición 4.4.5, $\delta$ no puede depender de $x$ o $y$ pero, ¿cómo se desprende esto de la definición?"

Esto se desprende del orden de los cuantificadores. Cuando escribimos estas dos afirmaciones en "forma normal Prenex", tenemos que:

$$ \forall c \in A,\forall \epsilon >0, \exists \delta, \forall x \in A \:( |x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon) $$

$$\forall \epsilon >0, \exists \delta, \forall x,c\in A \: (|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon) $$

En el primer enunciado, observe que el universal ( $\forall$ ) cuantificador $\forall c$ precede al existencial ( $\exists$ ) cuantificador $\exists \delta$ y el cuantificador universal $\forall x$ sigue al cuantificador existencial $\exists \delta$ .

Nótese que en la segunda definición, el cuantificador universal $\forall c$ ahora también sigue el cuantificador existencial $\exists \delta$ .

Para ver el significado del orden del cuantificador, considere lo siguiente, donde C es el conjunto de coches, P es el conjunto de personas, y R es una relación tal que cRp significa que c es propiedad de p.

$$ \forall c\in C, \exists p \in P: cRp $$ $$ \exists p\in P, \forall c \in C: cRp $$

Observa que en el primer enunciado del ejemplo, el cuantificador universal precede al cuantificador existencial. Esta afirmación significa que cada coche $c$ tiene un propietario $p$ . Obsérvese que la persona p depende del coche. En el segundo enunciado, el cuantificador universal sigue al cuantificador existencial. Este enunciado significa que hay alguna persona $p$ que posee TODOS los coches. Por lo tanto, esta persona no depende del coche (ya que los tiene todos, o lo que es lo mismo, dado cada coche, lo tiene).

Para concluir, para cualquier variable $x,y$ , $y$ puede depender de $x$ si y sólo si el cuantificador universal para $\forall x$ precede al cuantificador existencial para $\exists y$ .

Aplicando este teorema a sus definiciones, vemos que en la definición de continuidad, los cuantificadores universales $\forall x\in\mathbb{R}$ y $\forall\epsilon$ precede a $\exists\delta$ . Así, aquí $\delta$ puede depender tanto de $x,\epsilon$ . Sin embargo, en la definición de continuidad uniforme, el único cuantificador universal que precede a $\delta$ es $\forall\epsilon$ . Así, delta sólo puede depender de $\epsilon$ y no $x$ .

En la definición de continuidad uniforme, $\exists \delta $ no precede a ninguno de los dos $x$ ni $c$ por lo que no puede depender de ninguno de ellos, sino sólo de $\epsilon$ .

Answer 5

Esta imagen GIF intuitiva de Wikepedia me ayudó más.

$f(x)=\frac{1}{x}$ como se muestra en la imagen es continua pero no uniformemente continua, porque obviamente si, por ejemplo cuando $x_1=0.1$ podemos ver que $|f(x_1)-f(x_1+0.2)| \gt 0.5$ ; mientras $g(x)=\sqrt x$ es continua y uniformemente continua ya que podemos encontrar un número, por ejemplo 0,5 abajo, tal que $|f(x_1)-f(x_1+0.2)| \lt 0.5$ por cada $x_1$ . Aquí 0,2 y 0,5 deben ser números en R que sólo existen para la función dada.

Espero que esto le sirva de ayuda.