Prueba de convergencia en la distribución de una variable aleatoria discreta

Question

Estoy trabajando en una pregunta sobre "convergencia en distribución" y aprecio si pudieras guiarme sobre cómo abordar esta pregunta:

Aquí está la pregunta:

Sea $X_n$ una variable aleatoria con valores enteros. Muestra que $X_n \stackrel w{\longrightarrow} X_{\infty}$ converge en distribución si y solo si $\mathrm{Pr}(X_n = m) \rightarrow \mathrm{Pr}(X_{\infty} = m)$ para cada $m$.

Agradezco tu ayuda.

Answer 1

Para la necesidad, por el teorema de la maleta (teorema 29.1 en Billingsley o teorema 3.2.21 en las Notas de Dembo), para cualquier intervalo abierto $(a,b)$ que no contenga ningún entero, $$P(a

Usando los dos hechos anteriores, para cualquier entero $k$, tenemos \begin{align} P(X_\infty=k) & = P(k-0.5

Para la suficiencia, debes asumir que $X_\infty$ también es una variable aleatoria con valores enteros y luego verificar la convergencia punto a punto de las funciones de distribución $P(X_n \le x)$ en puntos continuos de $P(X_\infty \le x)$.

Si $X_\infty$ no tiene valores enteros, la dirección contraria no es válida. Aquí hay un contraejemplo. $P(X_n=k)=1/n$ para $k=1,2,..n$ de manera que para cualquier $k$, $\lim_{n\to \infty} P(X_n=k)=0$. Sea $X_\infty \sim N(0,1)$. Entonces $P(X_\infty=k)=0$. Sin embargo, $X_n$ no converge débilmente a $N(0,1)$.