Construcción de un triángulo

Question

El método que adopto para construir el triángulo es muy similar al método utilizado en la construcción de la curva de Batman.

Si no estás familiarizado con esta técnica, te sugiero que veas esta respuesta sobre la construcción de la curva de Batman para que te familiarices con el método.

Bien, estoy intentando construir un triángulo rectángulo. Primero empiezo con esta ecuación:

$$|x|+|y|=1$$ Esto produce un cuadrado de la siguiente manera:

Ahora, para cortar esto por la mitad, convierto la función absoluta en su representación de raíz y cambio el cuadrado y la raíz por $x$: $$\left(\sqrt{x}\right)^2+\sqrt{y^2}-1=0$$

eso produce esto:

Ahora esta es la primera parte de la ecuación.

La segunda parte se centra en una línea $x=0$ desde $x=-1$ hasta $x=1$. Esto es lo que se me ocurrió: $$x\sqrt{1-y^2}=0$$

En teoría, debería ser capaz de multiplicar las dos expresiones de la izquierda de la ecuación $1$ y $2$ para obtener mi triángulo deseado. Sin embargo, este no es el caso y la $2^{\text{da}}$ expresión queda oculta. Sin embargo, he encontrado que si le sumas un valor arbitrariamente pequeño a $x$, se vuelve visible pero no es geométricamente un triángulo. Así que he ideado una hipótesis sobre la expresión.

$$\left(\left(\sqrt{x}\right)^2+\sqrt{y^2}-1\right)x\sqrt{1-y^2}=0$$ La ecuación que no funciona. $$\left(\left(\sqrt{x}\right)^2+\sqrt{y^2}-1\right)\left(\lim_{\epsilon\to0} x + \epsilon\right)\sqrt{1-y^2}=0$$ Esta es mi hipótesis.

Entonces, mis preguntas son:

¿Estoy yendo por el camino correcto en la construcción de un triángulo? si es así:

• ¿Hay algo que pueda hacer para mejorar mi trabajo actual?
• ¿Por qué es que la segunda expresión se oculta?

Si no:

• ¿Qué camino debería seguir?
• ¿Existe una ecuación general para un triángulo?

Answer 1

El enfoque se basa (correctamente) en el hecho de que establecer el producto de dos expresiones $A(x,y),B(x,y)$ en $0$ produce la unión de las dos curvas representadas al establecerlas por separado en cero, y también utilizando el hecho de que $\sqrt{u}$ solo está definido para $u \ge 0.$ Puedo ver cómo tu primera expresión, a la que llamaré $A(x,y)=(\sqrt{x})^2+\sqrt{y^2}-1$, al establecerse en cero resulta en la mitad derecha del cuadrado que has dibujado en rojo.

Sin embargo, al crear el segmento azul vertical, estás tratando de imponer dos condiciones a la vez: $x=0$ y $-1 \leq y \leq 1$. Cualquier cosa que hagas para esto implicará una intersección (en lugar de una unión) de dos conjuntos de ceros, y tal vez la mejor manera de hacerlo si las expresiones son $E,F$ es usar la expresión $E^2+F^2$, que capturará la intersección de las dos relaciones $E=0,F=0$ cuando se usa como factor. Ahora, para llegar a la desigualdad $-1 \leq y \leq 1$ podrías emplear la expresión $\sqrt{1-y^2}-\sqrt{1-y^2},$ que se definirá exactamente cuando $-1 \leq y \leq 1$, y será cero en ese intervalo.

Entonces, una versión que parece hacer el trabajo se obtendría multiplicando la expresión que da la mitad derecha del cuadrado por la suma sugerida de cuadrados aquí. Esto es $$[(\sqrt{x})^2+\sqrt{y^2}-1]\cdot [x^2 + (\sqrt{1-y^2}-\sqrt{1-y^2})^2]=0.$$

ADICIÓN:

El OP Alizter ha señalado en un comentario que Wolfram Alpha no produjo correctamente el gráfico utilizando el segundo factor inventado aquí, que implica una expresión restada de sí misma internamente a la expresión. Mi conjetura es que el software simplificó esa parte a $0$ antes de la evaluación, y por lo tanto no obtuvo una restricción en $y$. [Nota: se debe usar un gráfico implícito para esta ecuación en $x,y$, tal vez con cierta "tolerancia", para tener esperanza de hacerlo bien.]

Entonces aquí tienes otro factor diseñado para capturar el segmento de línea vertical: $$B(x,y)=x^2 + (\sqrt{y+1})^2 + (\sqrt{1-y})^2 -2)^2.$$ Entonces $B(x,y)=0$ si ambas expresiones al cuadrado son cero, y el segundo término al cuadrado es indefinido cuando $|y|>1$, y de lo contrario es cero. Así que creo que la relación $B(x,y)=0$ debería producir exactamente el segmento de línea vertical que une $(0,-1)$ con $(0,1)$. Usando este $B(x,y)$ actualizado, que con suerte no será tan propenso a ser simplificado por un software de representación gráfica, junto con el factor mencionado anteriormente $A(x,y)$ señalado arriba (y utilizado en OP), en su conjunto, el triángulo "debería" tener la ecuación $A(x,y)\cdot B(x,y)=0$. Digo "debería" porque no sé cómo funcionaría el software en ello, y como mencioné sugiero al menos usar algún tipo de gráfico implícito, tal vez con una tolerancia incorporada para permitir pequeños errores en un cálculo que esté exactamente en cero.