Sea $f:[0,1]\times [0,2\pi]\to \mathbb R$ un elemento de $L_1[0,1]$ del primer parámetro y una función continua del segundo parámetro. ¿Podemos decir que $f\in L_1([0,1]\times [0,2\pi])$?
Respuesta
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Trasteando un poco, creo que $$f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle \frac{y}{y^2 + e^{-1/x}}, & x \ne 0 \\ 0, & x =0 \end{cases}$$ es un contraejemplo. Es claramente continua en $y$. Para cualquier $y$ fijo distinto de 0, $f(\cdot, y)$ es una función acotada, por lo tanto está en $L^1$, y $f(\cdot, 0) = 0$. Dado que $f$ es no negativa, por el teorema de Tonelli podemos calcular $\iint_{[0,1] \times [0,2\pi]} f$ como $$\begin{align*} \int_0^1 \int_0^{2\pi} f(x,y)\,dy\,dx &= \frac{1}{2} \int_0^1 \left(\ln(e^{-1/x} + (2\pi)^2) - \ln(e^{-1/x}))\right)\,dx \\ &= \frac{1}{2} \left(\int_0^1 \ln(e^{-1/x} + (2\pi)^2)\,dx + \int_0^1 \frac{1}{x}\,dx\right). \end{align*}$$ La primera integral es finita ya que la función integrando está acotada, y la segunda integral es infinita.
