Estoy tratando de encontrar el tercer dígito en una multiplicación de todos los números impares del $1$ al $1$ millón.
Descubrí que la fórmula es:
Producto de los primeros $N$ números impares : $\frac{(2N)!}{(2N\cdot N!)}$
Esto es lo que estoy intentando: 1*3*5*7*11*13...999999
Hay $500,000$ números impares. $125,000$ de ellos son equivalentes a $1,3,5,7 \mod 8$.
Entonces el producto es equivalente a $1*3^{125,000}*5^{125,000}*7^{125,000}\equiv 1 \mod 8$.
Ahora más de tres de estos números son múltiplos de $5$, por lo que el producto es equivalente a $0 \mod 125$.
$125 \equiv 5 \mod 8$ pero $5*125=625 \equiv 1 \mod 8$.
Por el teorema chino del resto, esta es la única solución módulo $1000$.
Por lo tanto, los últimos tres dígitos son $625$
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