$\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{#1}}$Generalidades: Sea $S$ la esfera en $\mathbf{R}^{3}$ con centro $\Vec{c}_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ y radio $R > 0$, y sea $P$ el plano con la ecuación $Ax + By + Cz = D$, de modo que $\Vec{n} = (A, B, C)$ es un vector normal a $P$.
Si $\Vec{p}_{0}$ es un punto arbitrario en $P$, la distancia firmada desde el centro de la esfera $\Vec{c}_{0}$ hasta el plano $P$ es $$ \rho = \frac{(\Vec{c}_{0} - \Vec{p}_{0}) \cdot \Vec{n}}{\|\Vec{n}\|} = \frac{Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} - D}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}. $$
La intersección $S \cap P$ es un círculo si y solo si $-R < \rho < R$, y en ese caso, el círculo tiene radio $r = \sqrt{R^{2} - \rho^{2}}$ y centro $$ \Vec{c} = \Vec{c}_{0} + \rho\, \frac{\Vec{n}}{\|\Vec{n}\|} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + \rho\, \frac{(A, B, C)}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}. $$
![Una esfera y un plano que se intersecan en un círculo]()
Ahora consideremos el ejemplo específico $$ S = \{(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4\},\qquad P = \{(x, y, z) : x - z\sqrt{3} = 0\}. $$ El centro de $S$ es el origen, que se encuentra en $P$, por lo que la intersección es un círculo de radio $2$, el mismo radio que $S$.
Cuando sustituyes $x = z\sqrt{3}$ o $z = x/\sqrt{3}$ en la ecuación de $S$, obtienes la ecuación de un cilindro con sección transversal elíptica (como se señaló en el OP). Sin embargo, debes también retener la ecuación de $P$ en tu sistema. Es decir, cada uno de los siguientes pares de ecuaciones define el mismo círculo en el espacio: \begin{align*} x - z\sqrt{3} &= 0, & x - z\sqrt{3} &= 0, & x - z\sqrt{3} &= 0, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} &= 4; & \tfrac{4}{3} x^{2} + y^{2} &= 4; & y^{2} + 4z^{2} &= 4. \end{align*} Estos pueden no "parecerse" a círculos a primera vista, pero eso se debe a que el círculo no es paralelo a un plano coordenado; en cambio, proyecta "sombras" elípticas en los planos $(x, y)$ y $(y, z)$.
Nota que un círculo en el espacio no tiene una sola ecuación en el sentido que estás preguntando.
