Conexión lineal en el Plano Hiperbólico

Question

Para la mitad superior del plano $\mathbb{H}^2=\{x+iy\in\mathbb{C}\ \vert\ y>0\}$ equipado con la métrica $g = \frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)$, calculé los símbolos de Christoffel de la siguiente manera: $$\begin{align}\Gamma^1_{12}&=\Gamma^1_{12}=-\frac{1}{y}\\\Gamma^2_{11}&=\frac{1}{y}\\\Gamma^2_{22}&=-\frac{1}{y}\end{align}$$

Luego, utilizando la relación entre la matriz de conexión y los símbolos de Christoffel $\omega^k_j=\Gamma^k_{ij}dx^i$, calculé $$\begin{align} \omega^1_1 &=-\frac{1}{y}dy\\ \omega^1_2 &=-\frac{1}{y}dx\\ \omega^2_1 &=\frac{1}{y}dx\\ \omega^2_2 &=-\frac{1}{y}dy \end{align}$$ Ahora tengo dos preguntas:

• ¿Para obtener la matriz $\omega$ correcta, necesito contraer un índice con la métrica?
• ¿Cómo realizo el cálculo de $\nabla_X(S)$ para $X\in\Gamma(T\mathbb{H}^2),\ S\in\Gamma(\xi)$? Me queda claro que simplemente debo colocar el vector columna $S$ a la derecha de la matriz $\omega$ y multiplicar de la manera obvia, pero ¿cómo "introduzco" el campo vectorial $X$? Un ejemplo sería realmente útil.

¡Gracias!

Answer 1

Tengo algunas perplejidades con respecto a la ecuación que relaciona $\omega$ con $\Gamma$. Obtengo \begin{equation} \omega^k_j(X)\partial_k = \nabla_X\partial_j = \nabla_{X^i\partial_i}\partial_j=X^i\nabla_{\partial_i}\partial_j=X^i\Gamma^k_{ij}\partial_k \end{equation> por lo tanto $\omega^k_j(X)=X^i\Gamma^k_{ij}$, lo que da la dependencia de $\omega$ del campo vectorial. Luego, los componentes que obtengo son \begin{bmatrix} -\frac{X^2}{y} & -\frac{X^1}{y} \\ \frac{X^1}{y} & -\frac{X^2}{y} \end{bmatrix} y si sustituyes algún campo vectorial $Y=(Y^1,Y^2)$ necesitas agotar el índice $j$: \begin{equation} \omega(Y)=(-\frac{X^2}{y}Y^1-\frac{X^1}{y}Y^2,\frac{X^1}{y}Y^1 -\frac{X^2}{y}Y^2) \end{equation> ¡Espero que esto esté correcto y ayude!