La misma construcción no funciona para $SX$.
Tenga en cuenta que la secuencia de trayectorias se combina típicamente en una sola trayectoria colocando cada trayectoria en un subintervalo de $[0,1]$ con $1$ siendo un límite de esos subintervalos. Ahora con $\Sigma X$ podemos mapear $1$ al punto único compartido. Así que cada secuencia convergente a $1$ se mapeará a una secuencia que converge al punto único. Pero con $SX$ podemos encontrar una secuencia que converge a $1$ pero su imagen converge a cualquier punto que esté sobre la línea vertical sobre $0$. No hay una elección válida para el valor en $1$ que haga que la construcción sea continua.
Esto también muestra que cualquier bucle en $SX$ puede rodear solo un número finito de subcírculos distintos de $SX$. Se puede concluir a partir de eso que el grupo fundamental es numerable.
Vamos a entrar en detalles. Deje que $SX=(X\times [0,1])/\sim$ y dejemos que $v_0=[(0,1)]_\sim$ sea el vértice superior. Por la k-ésima línea entenderé la imagen de $\{1/k\}\times[0,1]$ en $SX$ y lo denotaré como $L_k$. Tenga en cuenta que $L_0$ será la imagen de $\{0\}\times[0,1]$.
Su construcción es la siguiente: para cualquier secuencia de naturales $n_1,n_2,\ldots$ deje que $f_k:[1/k,1/(k+1)]\to SX$ sea una trayectoria tal que $f(1/k)=f(1/k+1)=v_0$ y que $f$ pase por la línea $L_{n_k}$ y de regreso a través de la línea fija $L_1$ (para que no sean homotópicas entre sí). Finalmente, componemos todos los $f_k$ en $f:[0,1]\to SX$ a través de $f(x)=f_k(x)$ si $x\in[1/k,1/(k+1)]$ y $f(0)=v_0$.
Tenga en cuenta que esta construcción es continua sobre $\Sigma X$ pero no sobre $SX$. De hecho, deje que $w_k=[(1/k, 1/2)]_\sim$ y observe que $w_k\to [(0,1/2)]_\sim\neq v_0$. Pero $f^{-1}(w_{n_i})$ es un único punto que pertenece a algún $[1/t,1/(t+1)]$. Así que forma una secuencia convergente a $0$. Esto es una contradicción ya que la imagen no converge a la imagen de $0$ siendo $v_0$.
La principal diferencia entre $SX$ y $\Sigma X$ es que $\Sigma X$ es localmente conexo a diferencia de $SX$. Esto implica que:
Lema. Deje que $f:[0,1]\to SX$ sea una función continua. Entonces hay a lo sumo finitos $k$ tal que $L_k\subseteq im(f)$.
Prueba. Supongamos que no es así, por lo que tenemos $L_{m_1},L_{m_2},\ldots$ totalmente contenidos en $im(f)$. Dado que $im(f)$ es compacto, entonces $$\overline{\bigcup_{i=1}^\infty L_{m_i}}\subseteq im(f)$$ Esto implica (por las propiedades intrínsecas de $X$) que $L_0\subseteq im(f)$. Pero luego $im(f)$ no es localmente conexo. Contradicción, ya que $f$ es un mapeo cociente (sobre su imagen) desde un espacio localmente conexo (vea esto). $\Box$
Nota lateral: otra diferencia es que $SX$ no es imagen de ninguna trayectoria pero $\Sigma X$ lo es (por el teorema de Hahn-Mazurkiewicz, o por la construcción mencionada).
Conclusión: $\pi_1(SX)$ es numerable.
Bosquejo de la prueba. Hay un número numerable de subcírculos (básicamente un subcírculo es un par $(L_i,L_j)$ de líneas) en $SX$. Dado que cada trayectoria pasa solo alrededor de un número finito de ellos, significa que a cada trayectoria podemos asociar una secuencia $(n_1,n_2,\ldots)\in\mathbb{Z}^\infty$ de números de enrollamiento correspondientes. Solo un número finito de entradas son no nulas. Y solo hay un número numerable de esas secuencias. $\Box$
