¿Qué parámetros siempre hacen que esta ecuación racional sea divisible de manera uniforme?

Question

Hola chicos, tengo la siguiente ecuación:

$$x = \dfrac{a + b \times c - b}{c}$$

Esto es lo que sé sobre cada variable: $$a \ge 64$$ $$b \ge 0$$ $$8 \le c \le a$$

Mi pregunta es si hay una manera concisa para elegir a, b y c de modo que x siempre sea un entero positivo mayor o igual a 8.

Por ejemplo, si $a = 64$; $b= 0$; $c = 8$ (los valores más pequeños posibles para cada uno)

$x = (64 + 0 \times 8 - 0)/8$

$x = 8$ que es un entero positivo $\ge 8$

Sin embargo, si digamos $a = 200$; $b = 2$; $c = 10$

$x = (200 + 2 \times 10 - 2)/10$

$x = \dfrac{218}{10}$ que es $21.8$ y no es un entero positivo mayor o igual a $ 8$

¿Cómo puedo estar seguro de que $x$ siempre será un entero positivo? ¡Gracias!

Answer 1

Si $$x=(a+b*c-b)/c$$ Puedes dividirlo en $x=\frac{a-b}{c}+b$

Luego, la única condición de divisibilidad es $$\frac{a-b}{c}=k$$ $$a-b=ck$$ $$a=b+ck$$ Por lo tanto, puedes elegir cualquier $b$,$c$ y $k$ entero tal que x sea un entero.

Sustituyendo a obtienes $k+b \ge 8$

Finalmente, puedes elegir cualquier enteros $b$ y $k$ tal que $k+b \ge 8$ y cualquier entero $c$ que cumpla con tus desigualdades iniciales, luego operar para obtener $a$.

Answer 2

Como $$x = \frac{a + b\cdot c -b}{c} = \frac{a-b}{c} + \frac{b\cdot c}{c} = \frac{a-b}{c} + b,$$ podemos decir que $x$ será un entero siempre que $a-b$ sea divisible por $c$. Es decir, necesitamos un entero $n$ tal que $$a-b=cn \leftrightarrow a = cn + b.$$ Finalmente, como queremos que $x \geq 8$ esto significa que necesitamos $$\frac{a-b}{c} + b \geq 8.$$ Al resolver para $a$, tenemos $a \geq b -bc +8c$.

Combinando nuestras expresiones que involucran a $a$ resulta en $$cn+b \geq b-bc+8c$$ $$n+b\geq 8.$$ Ahora puedes elegir cualquier $b \geq 0$ y cualquier $n$ que satisfaga $n+b \geq 8$ y tendrás $x \geq 8$.