¿Por qué variedades con torsión canónica gavilla han finito etale cubre con trivial canónica de la gavilla

Question

Deje $B$ ser una variedad con torsión canónica de la gavilla, es decir, $\omega^{\otimes n}_B \cong \mathcal O_B$ algunos $n>0$. Entonces, ¿por qué no existe un número finito (etale?) morfismos $X\to B$ tal que $K_X$ es linealmente equivalente a cero?

Estoy pensando en $X\to B$ debe de ser algún tipo cíclico de la cubierta, pero, ¿cómo construir una cíclico de la cobertura de $B$ en el primer lugar? Y ¿por qué iba a tener trivial canónica gavilla?

Answer 1

Este es un caso especial de una forma más general de la realidad. Si se nos da una línea bundle $L$ sobre una variedad algebraica $X$ y un isomorfismo $L^{\otimes n} \cong O_X$, entonces no es únicamente adjunta a esta información un $n$veces étale cubierta $Y \to X$ de manera tal que el pullback de $L$ $Y$es trivial. Tenga en cuenta que el pullback de la canónica de gavilla en virtud de un étale mapa es canónica de la gavilla.

Una manera de darse cuenta de esto es el uso de ese $X$ es isomorfo a su imagen en el espacio total de $L^{\otimes n}$ bajo la unidad de la sección obtenida a partir de la isomorfismo de arriba. Ahora, cada punto en $X$ $n$ distintas "raíces" en el espacio total de $L$. Yo creo que todo esto es explicado en Griffiths-Harris, por ejemplo.