¿$H$ un subgrupo de $G$ implica una sobreyección $G\to H$?

Question

Supongamos que $H$ es un subgrupo de $G$. ¿Siempre existe un homomorfismo sobreyectivo $G\to H$?

Estoy confundido con esto. Hoy en mi clase de álgebra tuvimos un grupo $G$ de orden $p(p-1)$ para $p$ primo y el profesor dijo que debido al teorema de Sylow $G$ contiene un grupo de orden $p$ (en eso estoy totalmente de acuerdo) y por lo tanto hay una sobreyección $G\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z$. ¿Por qué es así? ¿Es cierto en general o esto funciona por alguna razón específica de este ejemplo?

Edición: En realidad, el grupo era $(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})^\times$, pero él hizo hincapié en que lo único que importa es que tiene orden $p(p-1)$. Por eso hice esta pregunta como una pregunta general para grupos de orden $p(p-1)$. Gracias a las respuestas, no es cierto (lo cual aclara un poco mis confusiones). ¿Pero es cierto en este caso?

Answer 1

Para un contraejemplo, dejemos que $p=3$, y sea $G$ el grupo de permutaciones de un conjunto de $3$ elementos (el único grupo no abeliano de orden $6). Este $G$ no tiene ningún subgrupo normal de orden $2$, y por lo tanto no tiene ninguna sobreyección a un grupo de $3$ elementos.

Answer 2

También, puedes dejar que $G=A_5$ sea el grupo alternante en $5$ letras. Este grupo es simple, así que sus únicos subgrupos normales son $0$ y $A_5$. El primer teorema de isomorfismo implica que la imagen de cualquier morfismo de grupo desde $A_5$ tiene orden $60$ o $1$. Por lo tanto, $A_5$ no puede sobreyectar en ningún subgrupo excepto en sí mismo y en el subgrupo trivial.