Demostrar que cada función holomorfa tiene una continuación maximal.

Question

Tengo que mostrar que existe una continuación holomorfa maximal para cada $f : \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ holomorfa, con $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ abierto y conexo.

Definimos una continuación holomorfa como una tupla $(g,\Omega_g)$ donde $\Omega \subseteq \Omega_g$ y $g|_\Omega = f$.

Creo que esto es posible aplicando el Lema de Zorn al conjunto de todas las continuaciones holomorfas. Puedo demostrar que existe un orden parcial en estas continuaciones:

$(g_1, \Omega_1) \preceq (g_2,\Omega_2) \Leftrightarrow g_2|_{\Omega_1} = g_1 \ \land \ \Omega_1 \subseteq \Omega_2$

Pero no tengo idea de cómo mostrar que existe un límite superior para cada subconjunto totalmente ordenado de estas continuaciones, lo cual sería necesario para aplicar el Lema de Zorn.

Answer 1

Existe una extensión maximal, pero no siempre una extensión más grande. La existencia del elemento maximal se deduce del lema de Zorn.

$\bf{Añadido:}$

Tu conjunto consiste en todos los $(g, \Omega_g)$ con $\Omega_g$ abierta y conectada, $\Omega_g \supset \Omega$ y $g_{|\Omega} = f$. El orden está en el OP. Para aplicar el lema de Zorn, necesitamos demostrar que cada subconjunto totalmente ordenado
$((g_i, \Omega_i))_{i\in I}$ tiene una cota superior. De hecho, considera $\Omega^*\colon = \cup_{i\in I} \Omega_i$. Será abierta y conectada, ya que todos los subconjuntos $\Omega_i$ contienen a $\Omega$, por lo que tienen un punto en común. Ahora define $g^*$ en $\Omega^*$ de la siguiente manera: sea $z \in \Omega^*$. Entonces $z\in \Omega_i$ para algún $i \in I$. Define $g^*(z) = g_i(z)$. Debes verificar que si $z\in \Omega_j$ para otro $j$ entonces $g_j(z) = g_i(z)$. Esto se debe a que tienes $\Omega_i\subset \Omega_j$, o $\Omega_j \subset \Omega_i$, y la forma en que se restringen los $g_i$. Por lo tanto, $g^*$ está bien definido. Además, dado que $g^*$ es localmente una función holomorfa, será holomorfa. Ahora verifica que $(\Omega^*, g^*)$ es una cota superior de la familia $((\Omega_i, g_i))_{i\in I}$

Nota: necesitamos una familia totalmente ordenada, o al menos una familia que sea dirigida.

El problema es que quizás no tengas un dominio más grande dentro de $\mathbb{C}$, piensa en la función $\sqrt{z}$. Una extensión maximal es $\sqrt{z}$ definida en $\mathbb{C}$ sin un rayo que vaya de $0$ a $\infty$ (un corte). Pero hay muchas de estas, así que no hay un elemento más grande.