¿Es cierto que $E[|X-E[X]|^j] \le E[|X|^j]$?

Question

Sea $X$ una variable aleatoria y sea $j\in\mathbf{N}$ con $j >2$, ¿es cierto que $$E[|X-E[X]|^j] \leq E[|X|^j]\quad?$$

Answer 1

La desigualdad siempre se cumple para $j=2$ (suponiendo que la media de $X$ existe) pero no se cumple en general para otros valores de $j$.

Si $X$ es una variable aleatoria con media $\mu$ y varianza finita, entonces $\mu$ es el valor de $x$ que minimiza $\mathbb{E}[(X-x)^2]$. Esto implica la desigualdad para $j=2$.

Sin embargo, $x=\mu$ no minimiza en general $\mathbb{E}[|X-x|^j]$ para valores de $j$ distintos de $2$.

Por ejemplo, tomando $j=1$, la cantidad que minimiza $\mathbb{E}|X-x|$ no es la media, sino la mediana. Por lo tanto, por ejemplo, tu propiedad fallará para cualquier variable aleatoria cuya mediana sea $0$ y que tenga una media distinta de cero y finita. Por ejemplo, considera una variable aleatoria que toma el valor $0$ con probabilidad $2/3$, y el valor $1$ con probabilidad $1/3$. La mediana es $0$ mientras que la media es $1/3$. Tenemos $\mathbb{E}|X|=1/3<4/9=\mathbb{E}|X-1/3|$.

Answer 2

Otro contraejemplo es $j=3$. Para una variable aleatoria geométrica, $X$, con $\mu=E[X]=1$ tenemos

$$E[|X-\mu|^3]=7,$$

pero tenemos

$$E[|X-3/2|^3]=6.3125.$$