¿Por qué existe el grupo de monstruos?

Question

Recientemente, estaba viendo una entrevista que John Conway hizo con Numberphile. Al final del video, Brady Haran le preguntó a John:

Si volvieras cien años después de tu muerte, ¿qué problema te gustaría saber?

John respondió:

Me gustaría saber por qué existe el Grupo Monstruo.

Por lo que he leído, parece que la investigación ha avanzado hacia explorar las conexiones entre las conjeturas del moonshine del monstruo y otros campos como la teoría de campos conforme. Sé que Conway no estaba particularmente interesado en la idea de que la existencia tenga que ver con CFT, por ejemplo,

• Siobhan Roberts, Curiosidades: persiguiendo al Monstruo. ¿Qué hay debajo de una estructura con inimaginables 196,883 dimensiones?, IAS, 2013

Por lo tanto, estoy tratando de entender a qué se refiere con "por qué". Realmente no pude encontrar ningún artículo donde profundizara más en la pregunta, ¿por qué la existencia del grupo no puede ser una coincidencia? ¿Ha habido algún avance adicional en relación con esta pregunta?

Actualización: Así que encontré otra entrevista, en la que John explica un poco más: "Creo que hay algo tan fundamental sobre este objeto que debería haber una definición más simple o una construcción más simple"

Answer 1

_{[comentario convertido en respuesta, como sugirió Mikhail Katz]}

Un artículo de 2022 de Scott Carnahan, "¿Por qué las simetrías del álgebra de vértices del monstruo forman un grupo simple finito?", va en cierta medida hacia responder la pregunta de Conway, utilizando "teoría de grupos del siglo XIX".

Answer 2

El OP escribió:

Estoy tratando de entender lo que quiere decir con "por qué".

Aunque varios respondientes han expresado escepticismo de que esta pregunta pueda ser respondida satisfactoriamente, mantengo que no es tan difícil de entender. Para los incrédulos, ofrecería la siguiente paráfrasis de la declaración de Conway, "Me gustaría mucho saber por qué existe el Monster Group":

Me gustaría una construcción más simple y natural (o una prueba de existencia) del Monster.

La justificación de esta parafrasis se puede encontrar en el trabajo de Conway en teoría de grupos finitos. Por ejemplo, ¿cuál fue el punto de su artículo, A simple construction for the Fischer-Griess monster group? Conway mismo escribió, "El objetivo principal de este artículo es presentar una construcción simplificada [del Monster]." Si lees su libro con Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, encontrarás de manera similar un énfasis en las construcciones más agradables posibles. En el Capítulo 11, leemos:

El código Golay $\mathscr{C}_{24}$, el sistema Steiner $S(5,8,24)$, y el grupo Mathieu $M_{24}$ son objetos combinatorios hermosos con una gran riqueza de estructura y aplicaciones. El MOG [Generador Octeto Milagroso], y su compañero el hexacode, son herramientas computacionales que permiten realizar cálculos mentales sobre estos objetos con gran facilidad. … También hay un MINIMOG, con el tetracode como compañero, que juntos realizan servicios similares para $M_{12}$.

En la introducción, obtenemos un ejemplo de algo que los autores consideran como arrojando luz sobre las propiedades milagrosas de la retícula de Leech:

Se arroja luz considerable sobre estos misterios al darse cuenta de que la retícula de Leech y las retículas de Niemeier pueden obtenerse todas fácilmente a partir de una sola retícula, a saber, $\mathrm{II}_{25,1}$, la retícula par unimodular única en el espacio de Lorentz $\mathbf{R}^{25,1}$.

Nuevamente, la facilidad de construcción se considera muy importante. Una insatisfacción similar con construcciones milagrosas ad hoc y detalles superfluos se puede encontrar en todo el trabajo de Conway, no solo en su trabajo en teoría de grupos; un ejemplo es su demostración de la clasificación de superficies cerradas, a la que apodó la prueba "ZIP" (Zero Irrelevancy Proof) o "Prueba de Cero Irrelevancia".

Las fuentes citadas por el OP corroboran este punto de vista. El artículo del IAS dice: “En su opinión, la teoría de campo conforme es demasiado complicada para entenderla y, por lo tanto, demasiado complicada para ser la única respuesta". Nuevamente, destaca la simplicidad versus la complejidad.

Así que creo que podemos asumir con seguridad que lo que Conway esperaba era que en los próximos 100 años se encontraría una construcción mucho más simple del Monster.

---

Respecto a la pregunta de por qué la existencia del Monster no podría ser una "coincidencia", siento confianza en que Conway se habría rebelado contra esa actitud. Es cierto que hay algunos tipos de enunciados matemáticos que Conway podría haber concedido que son verdaderos por accidente. Como mencioné en esa otra respuesta en MO, Conway sentía que había cierta fuerza en el argumento heurístico y probabilístico de que la conjetura de Collatz es verdadera, pero no se puede demostrar. Pero en ese contexto, el problema es la intractabilidad demostrable (y la falta de estructura) que está al acecho. En el caso del Monster, tenemos una prueba de su existencia, y hay toneladas de estructura presente. Estoy seguro de que Conway habría rechazado categóricamente cualquier argumento en el sentido de: "Bueno, ya sabes, si simplemente generas tablas de multiplicar de grupos al azar, no es para nada sorprendente que un grupo simple de orden 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 surja por casualidad. Sigamos adelante; no hay nada que ver aquí."

Me parece recordar haber tenido un intercambio con Conway (¿quizás en la lista de correos matemáticos hace muchos años?) en el que planteé la posibilidad de que los teoremas principales de la teoría de campos de clase posean un núcleo ineliminable de coincidencias milagrosas que no se pueden "explicar" de una manera puramente "conceptual", y Conway dijo que pensaba que esa actitud era demasiado derrotista, y que no deberíamos dejar de intentar encontrar pruebas cada vez más simples de algo tan hermoso. Sin duda, la filosofía de Conway de buscar obstinadamente explicaciones más simples de hechos matemáticamente significativos le sirvió inmensamente bien a lo largo de su carrera.

---

EDICIÓN (Octubre de 2023): Acabo de descubrir una charla de Richard Borcherds de hace unos años. Alguien hizo una pregunta sobre la construcción del Monster, y la respuesta de Borcherds puede dar una idea de lo que Conway esperaba.

Esta es una pregunta de investigación abierta para quien esté interesado: Encuentra una construcción natural del Monster. Cada construcción del Monster que tenemos es un desastre. La mayoría de las construcciones son básicamente simplificaciones de la construcción original de Griess, y el problema con todas ellas es que tomas dos espacios vectoriales enormes que parecen no tener nada que ver entre sí; tomas su suma directa, y colocas algún tipo de estructura algebraica por partes en esto, y por alguna increíble casualidad resulta que el Monster es un grupo de automorfismos. Nunca encontrarías esta construcción a menos que ya sospecharas que el Monster existía y estuvieras intentando construirlo. Lo que realmente desearíamos es una especie de construcción única donde lo construyes en una sola pieza. Por ejemplo, [para] el grupo de Conway, tomas la retícula de Leech en 24 dimensiones, y eso es un objeto individual muy natural en 24 dimensiones. Todavía no tenemos nada así para el Monster.