Compacidad de $\{x \rightarrow \sin(\pi nx) : n \in \mathbb{Z}\}$

Question

Sea $\ K=C[0,1]$, el conjunto de funciones continuas en el intervalo $[0,1]$ con la norma supremo, y considera el conjunto $\ A= \{ x \rightarrow \sin(\pi nx) : n \in \mathbb{Z} \}$. Demuestra o refuta si A es compacto o no.

Estoy tratando de probar que no es compacto mostrando que no es equicontinuo. Me di cuenta de que puedes hacer "el periodo" del seno pequeño así $$ 0<\pi nx < 2\pi $$ $$0 De esa manera $\delta$ no puede ser lo suficientemente pequeño. No sé si este razonamiento es correcto o cómo formalizarlo.

Answer 1

Arzela-Ascoli es definitivamente una manera de proceder. Como dices, debemos demostrar que la secuencia de funciones $f_n(x)=\sin(\pi n x)$ no es equicontinua. También estás en el camino correcto, al notar que los períodos pueden hacerse arbitrariamente pequeños, pero la amplitud sigue siendo 1.

Aquí hay un argumento formal. Fija cualquier $\delta>0$. Por la propiedad Arquimediana de los números reales, podemos elegir $N$ tan grande que $2/N<\delta$. Entonces para este $N$, $$\vert 0-1/(2N)\vert =1/(2N)<2/N<\delta$$ pero entonces para la función $f_N(x)=\sin(\pi N x)$, tenemos $$\vert \sin(\pi N \cdot 0)-\sin(\pi N (1/(2N)))\vert=\vert 0-\sin(\pi/2)\vert=1\;.$$ Entonces hemos demostrado que existe un $\epsilon>0$ (específicamente $\epsilon=1$) tal que para todo $\delta>0$, existen dos puntos $x,y$ con $\vert x-y\vert <\delta$ (es decir, $0$ y $1/(2N)$) para que la función $f_N(x)=\sin(\pi N x)$, tengamos $$\vert \sin(\pi N x)-\sin(\pi N y)\vert\geq \epsilon\;.$$ Por definición, la secuencia no es equicontinua.