Un límite directo relacionado con algunos homomorfismos

Question

En un texto de álgebra hay el siguiente argumento en el que estoy atascado en la última parte:

"Sea $f:BC$ un epimorfismo en la categoría de módulos $R$, y $D=_{n=1}^c_nR$ un submódulo generado de forma contable de $C$. Supongamos que tenemos homomorfismos $g_n:Hom_R(C,B)$ para $n=1,2,...$ con la propiedad de que $f\circ g_n(c_i)=c_i$ para $1in$, también sabemos que $g_n$ es el mismo que $g_{n-1}$ en $_{i=1}^{n-1}c_iR$. Al tomar el límite directo, obtenemos un homomorfismo $g:Hom_R(D,B)$ cuya restricción a $_{i=1}^{n}c_iR$ está dada por $g_n$ para cualquier $n".

Mi problema está en "...Al tomar el límite directo". ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Dada cualquier secuencia ascendente de conjuntos $X_1\subset X_2\subset X_3\cdots\subset X$ con $\bigcup_{n\ge1}X_n=X$ y cualquier colección de funciones $g_i:X_i\to Y$ tales que $g_i|_{X_{i-1}}=g_{i-1}$, podemos formar la función $g:X\to Y$ definida por la relación $g(x)=g_i(x)$ siempre que $x\in X_i$. Cada función $g_i$ es una "visión" más grande de $g$.

Uno puede comprobar que esta idea funciona en otras categorías concretas; se pueden pegar homomorfismos para obtener homomorfismos de la unión de una secuencia ascendente de subobjetos en anillos, grupos, módulos, etc.

Answer 2

Sea $N_n=\sum_{i=1}^{k}c_iR$; entonces $D$ es la unión de la familia creciente de submódulos $N_n$ y como tal es su límite directo con inclusiones como mapas de transición.

Si consideras la restricción $h_n$ de $g_n$ a $N_n$, la condición dada se traduce en que $h_n\colon N_n\to B$ es una familia de morfismos compatibles con los mapas de inclusión, entonces hay un morfismo único $$ g\colon D=\lim_{\to} N_n\to B $$ tal que la composición $N_n\hookrightarrow D\xrightarrow{g} B$ sea $h_n$ (para todo $n$).