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¿Existe un nombre para la afirmación de que la definición frecuentista de probabilidad se deriva de la definición de Kolmogorov?

Por lo que aprendí sobre el debate sobre definiciones/interpretaciones de la probabilidad, parece que matemáticamente no tiene sentido definir la probabilidad de la forma frecuentista, pero una vez que la probabilidad está definida correctamente (axiomáticamente), la interpretación frecuentista se mantiene, cuando la frecuencia es un concepto bien definido (corríjame si me equivoco).

¿Hay un nombre para un teorema que establece que la frecuencia corresponde a la probabilidad en el sentido de Kolmogorov bajo ciertas condiciones?

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David C. Ullrich Puntos 13276

Creo que lo más cercano que vas a encontrar es la Ley de los Grandes Números, que establece en parte que si un evento tiene una probabilidad $p$, entonces la frecuencia del evento en un número infinito de pruebas independientes es casi con certeza $p$.

Lamentablemente, esto realmente no dice que la interpretación frecuentista sea correcta, debido a las palabras "casi con certeza". Si lanzas una moneda justa un número infinito de veces, la frecuencia de caras es casi con certeza $1/2$, pero eso no nos permite usar la frecuencia para definir la probabilidad, porque la frecuencia podría no ser $1/2$.

Intentar dar una definición frecuentista de "casi con certeza" nos lleva a un retroceso infinito: podríamos realizar el experimento "lanzar una moneda un número infinito de veces" un número infinito de veces, y luego casi con certeza la frecuencia con la que obtenemos una frecuencia igual a $1/2$ es $1$. Pero ahí está ese "casi con certeza" de nuevo...

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R.A. Fisher, en el prefacio de su libro de 1928 Teoría de la Estimación Estadística, presentó la siguiente proposición como justificación de su enfoque frecuentista:

Imagina una población de $N$ individuos pertenecientes a $s$ clases, el número en cada clase $k$ siendo $p_kN$. Esta población puede ser ordenada de $N!$ maneras. Hagámoslo y llamemos muestra de $n$ a los primeros $n$ individuos en cada ordenamiento. Ignorando el orden dentro de la muestra, estas muestras pueden clasificarse en los varios tipos posibles de muestra según el número de individuos de cada clase que aparezcan. Hagamos eso, y denotemos la proporción de muestras que pertenecen al tipo $j$ como $q_j$, siendo el número de tipos $t$.

Considera la siguiente proposición. Dadas una serie de fracciones propias $P_1, P_2, \ldots, P_s$, tal que $S(P_k) = 1$, y una serie de números positivos $η_1, η_2, \ldots, η_t$, por pequeños que sean, es posible encontrar una serie de fracciones propias $Q_1, Q_2, \ldots, Q_t$, y una serie de números positivos $ε_1, ε_2, \ldots, ε_s$, y un entero $N_0$, tal que, si $N > N_0$ y $|p_k-P_k|< \epsilon_k$ para todos los valores de $k$, entonces $|q_j−Q_j|< η_j$ para todos los valores de $j.

Me imagino que es posible proporcionar una prueba rigurosa de esta proposición, pero no propongo hacerlo. Si es cierto, evidentemente podemos hablar sin ambigüedad o falta de precisión de una población infinita caracterizada por las fracciones adecuadas $P$, en relación con las distribuciones de muestreo aleatorio de muestras de un tamaño finito $n.

De hecho, es posible demostrar esto y hace varios años intenté hacerlo en una nota. Algunos términos de Fisher no son inmediatamente obvios, e intenté explicarlos en la página 2 de mi nota

Pero esto no necesariamente significa que "la interpretación frecuentista sea válida"; muchos críticos sugieren que los métodos estadísticos frecuentistas intentan responder las preguntas incorrectas, ejemplificado por interpretaciones frecuentistas de intervalos de confianza que no hacen afirmaciones sobre un intervalo calculado particular sino sobre el método utilizado para producirlo

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