Demostrar que $f\circ f = \mbox{id}_x$

Question

Sea $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ una función continua. Supongamos que para cada $x\in[0,1]$ existe un entero positivo $n$ tal que $f^n (x)=x$. (por supuesto, $f^3=f\circ f \circ f$ etc.). Demostrar que $f\circ f = \mbox{id}_x$.

Tengo la sensación extraña de que esto tiene que ver con el teorema del punto fijo. Pero realmente no veo ninguna idea para la solución.

Answer 1

Pista: Primero muestra que $f$ es inyectiva, y por lo tanto monótona. Hay entonces dos casos: o bien $f$ es creciente o $f$ es decreciente. En cada caso, usa la monotonía para demostrar que si $f^2(x)x$), entonces $f^n(x)$ no puede ser $x$ para ningún $n$. (En el caso de que $f$ sea decreciente, es muy útil tener en cuenta que $f^2$ es creciente.)

Answer 2

Afirmación: $f$ es inyectiva.

Prueba: Supongamos que $f(x) = f(y)$. Sabemos que existen $n(x)$ y $n(y)$ tal que $f^{n(x)}=x$ y $f^{n(y)}=y$. Ahora, sea $N = \text{lcm} (n(x),n(y))$. Finalmente, notemos que $x=f^N(x) = f^N(y) = y$. En conclusión, $x=y$.

Por lo tanto, $f$ es monótona ya que es inyectiva. Ahora, esto significa que $f$ es creciente o $f$ es decreciente.

Si $f$ es creciente, entonces si $f^2(x) > x$ para todo $x$, supongamos que $f^n(x) = x$. Entonces, si $n$ es par, esto claramente no puede suceder, y si $n$ es impar, $f^n(x) > f(x)$, así que vemos que $x > f(x)$, luego por la propiedad creciente, $f(x) > f(f(x))$, lo que da $x > f^2(x)$, una contradicción. Demostrar de manera similar si $f^2(x) < x$.

Si $f$ es decreciente, entonces $x > y \implies f(x) < f(y) \implies f^2(x) > f^2(y)$, por lo que $f^2$ es una función creciente. Entonces, supongamos que $f^2(x) > x$. Si $f^n(x)=x$, entonces $n$ par es obvio, mientras que $n$ impar daría $f^n(x) > f(x)$, así que $x > f(x)$, luego $f^(x) < f(x) < x$, una contradicción. Demostrar de manera similar si $f^2(x)

Por lo tanto, se sigue que $f^2(x)=x$ para todos los $x$.