Caracterización de singularidades mediante gavillas de funciones suaves

Question

La versión corta:

Dejemos que $H\subset M$ sea un subconjunto cerrado de una variedad suave. Equipa $H$ con la gavilla $\mathcal{F}$ de funciones suaves (de modo que una sección sobre una $U$ es la restricción a $U$ de una función suave sobre algún abierto de $M$ ). Si $p\in H$ tiene una vecindad $U$ en $H$ tal que $(U,\mathcal{F}_{\mid U})$ es isomorfo a una bola euclidiana con su haz de funciones suaves, entonces $p$ tener un barrio $V\subset M$ tal que $H\cap V$ es un submanifold incrustado de $V$ ?

La historia completa

Estoy estudiando un espacio determinado $H$ . Este espacio puede identificarse con la imagen inversa de un singleton bajo un mapa suave entre variedades suaves (por suave me refiero a $C^\infty$ aunque puede reemplazar suave por analítica real a lo largo de la pregunta si lo desea). En aras de la notación, digamos que $f:M\to N$ es el mapa suave entre variedades suaves, y que $H=f^{-1}(\{p\})$ .

Ahora $H$ no necesita ser un submanifold de $M$ porque $p$ podría ser un valor singular de $f$ (y en mi caso, normalmente lo es). Por lo tanto, me gustaría dividir $H$ en una parte lisa y otra singular, y luego estudiar la parte lisa como un colector. Me parece que hay una forma sencilla de hacerlo: tomar la parte lisa como todos los puntos de $H$ donde $f$ es sumergible, y llama a todos los demás puntos singulares. Entonces la parte lisa es un subconjunto abierto de $H$ y un submanifold de $M$ . Muy bien.

Sin embargo, este enfoque tiene la desventaja de utilizar el mapa $f$ y no sólo el conjunto $H$ . Supongamos, por ejemplo, que $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}:(x,y)\mapsto x^2 ,$$ entonces $f^{-1}(\{0\})$ es una línea, pero todos sus puntos se consideran singulares. Podríamos construir la misma línea como $g^{-1}(\{0\})$ para el mapa $g(x,y)=x$ y entonces todos los puntos son suaves. Esto demuestra por qué la división $H$ utilizando la submersividad de $f$ puede ser una mala idea.

Por lo tanto, mi problema se puede plantear así: cómo podemos distinguir entre puntos singulares y suaves de $H$ ?

Primera propuesta. Una solución sería llamar a un punto de $H$ suave si tiene alguna vecindad $U$ en $M$ tal que $H\cap U$ es un submanifold de $U$ . Esto parece muy cercano a la intuición geométrica.

Sin embargo, debo hacer una observación importante. Aunque $H$ se identificó con un conjunto de niveles de $f$ Hay muchos otros mapas $f':M'\to N'$ y puntos $p'\in N'$ tal que $H$ también puede identificarse con el conjunto de niveles $(f')^{-1}(\{p'\})$ . Si la división de $H$ tiene sentido, entonces quiero que las singularidades de $H$ visto como un subconjunto de $M$ para que sean las mismas que las singularidades de $H$ visto como un subconjunto de $M'$ . Sé que hay mapas suaves $\alpha:M\to M'$ y $\beta:M'\to M$ ambos se limitan a la "identidad" en $H$ . No me queda claro que la primera propuesta dé lugar a la misma división si utilizamos $f'$ en lugar de $f$ . Esto me lleva a mi segunda propuesta.

Segunda propuesta. Por cada apertura de $H$ podríamos ver todas las funciones en él que son restricciones de funciones suaves en algún abierto de $M$ . Creo que esto define una gavilla en $H$ Aunque soy nuevo en las gavillas. Podemos entonces definir que un punto es suave si tiene alguna vecindad tal que esta vecindad equipada con la restricción de la gavilla es isomorfa a una bola euclidiana abierta con su gavilla de funciones suaves. Esto tiene la ventaja de que no depende de si usamos $f$ o $f'$ porque $H$ tendrá la misma gavilla en ambos casos (gracias a los mapas $\alpha$ y $\beta$ ). También está claro que los puntos que son suaves según la primera propuesta también lo son según la segunda. Sin embargo, esta propuesta no me resulta tan atractiva como la primera en términos de intuición geométrica. Tal vez algunos puntos etiquetados como suaves por esta propuesta no deban serlo. Esta propuesta también se menciona brevemente en la respuesta de Thomas Klimpel a Estructura suave en el espacio topológico .

¿Qué intuición geométrica puede motivar la segunda propuesta? En particular, ¿todo punto que es suave según la segunda propuesta es también suave según la primera?

Answer 1

Supongamos que $M$ es una variedad diferencial dotada de su hoja $\mathcal C^\infty_M$ de funciones suaves y considerar un arbitrario subconjunto cerrado $N\subset M$ .
Entonces $N$ hereda de $M$ una sub-hoja $\mathcal C^\infty_N\subset \mathcal C_N$ de su gavilla de funciones continuas, obtenida restringiendo $C^\infty$ funciones sobre subconjuntos abiertos $U\subset M$ a $U\cap N$ .
En un punto $n\in N$ tenemos $C^\infty_{N,p}=C^\infty_{M,p}/\mathcal I_{M,p}$ , donde $\mathcal I_{M,p}$ es el ideal de gérmenes en $n$ de funciones suaves sobre $M$ desapareciendo en $n$ .
Los resultados que quieres son entonces:

1) Si $N$ es un submanifold de $M$ (en el sentido habitual, el de su primera propuesta) entonces el espacio anillado $(N,C^\infty_N)$ es una variedad abstracta, es decir, existe un atlas que hace $N$ una variedad tal que las funciones suaves dictadas por el atlas son exactamente las dictadas por la gavilla $C^\infty_N$ .

2) A la inversa, si el espacio anillado $(N,C^\infty_N)$ descrito anteriormente resulta ser una variedad abstracta, entonces el subconjunto cerrado $N\subset M$ ya era un submanifold en el sentido habitual.

El resultado 1) está esencialmente demostrado en todos los libros sobre el tema (aunque con una terminología diferente).
El resultado 2) en cambio es más difícil de localizar en la literatura; una posible referencia es el Teorema 1.17 del libro de Navarro González y Sancho de Salas $C^\infty$ -Espacios diferenciables .

Nota:
El hecho de que hayas notado que el mismo subconjunto cerrado $N\subset M$ puede definirse tanto como la fibra de una inmersión como la fibra de una función suave que no es una inmersión es una observación extremadamente profunda.
Es uno de los componentes centrales de la teoría de esquemas de Grothendieck.
Su credo La idea que ahora se adopta universalmente es que el objeto correcto a considerar en la geometría algebraica es el esquema, un tipo especial de espacio anillado (= espacio topológico más gavilla de anillos).
Esta técnica de trabajo con espacios anillados ha sido adaptada con gran éxito en el análisis complejo por Grauert y su escuela.
Por alguna razón los geómetras diferenciales no se han convertido (todavía) en masa a este punto de vista, y el libro mencionado anteriormente es una de las pocas excepciones que conozco.