Siento incomodidad por mi razonamiento. ¿Es válido?
Sea $f:A\to B$ un mapa sobreyectivo de conjuntos. Demuestra que la relación
$$a\sim b\quad\text{si y solo si}\quad f(a)=f(b)$$
es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son las fibras de $f$.
- La relación es reflexiva porque $f(a)=f(a)$ para todo $a\in A$.
- La relación es simétrica porque $f(a)=f(b)\implies f(b)=f(a)$ para todo $a,b\in A$.
- La relación es transitiva porque $f(a)=f(b)\land f(b)=f(c)\implies f(a)=f(c)$ para todo $a,b,c\in A$.
Por lo tanto, la relación es una relación de equivalencia.
Sea $Q$ una fibra de $f$. Entonces
$$Q=\{a\in A:f(a)=q\},$$
para algún $q\in B$. Como $f$ es sobreyectiva, existe un $h:B\to A$ tal que $f\circ h=\text{id}_B$. Por lo tanto, $h(q)=p\implies q=f(p)$, para algún $p\in A. Se sigue entonces que
$$Q=\{a\in A:f(a)=f(p)\}=\{a\in A:a\sim p\},$$
que es la clase de equivalencia de $p$.
Por lo tanto, las clases de equivalencia de la relación son las fibras de $f$.
