Probabilidad de que el primer jugador saque doble seis primero

Question

Una pregunta de examen de ingreso a la universidad de secundaria:

Los jugadores A y B se turnan en lanzar dos dados. El ganador es el primer jugador en lanzar un doble seis. El jugador A comienza el juego.

1. Encuentra la probabilidad de que el Jugador A gane en el primer lanzamiento. Intento: Obviamente 1/36.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que el Jugador A gane en el primer o segundo lanzamiento? Intento: La probabilidad de ganar en el segundo lanzamiento es 35/36 veces 1/6. Por lo tanto, la probabilidad de ganar en el primer o segundo lanzamiento es la suma de (i) y (ii), o 1/6(1+35/36).

3. Encuentra la probabilidad de que el Jugador A eventualmente gane el juego. Intento: Intenté una progresión geométrica usando 35/36 como razón común, pero estoy atascado. ¿Puedes darme una pista?

Answer 1

Puedes resolver esto de forma recursiva. Ten en cuenta que después de que A y B no saquen doble seis, el juego básicamente se reinicia, obtienes

$p={1\over 36} + {35 \over 36}{35 \over 36}p$.

Por lo tanto, $p = \frac{{1\over 36}}{1-{35 \over 36}{35 \over 36}}= {36 \over 71}.

Answer 2

En la parte (iii) podemos hacerlo de la siguiente manera:

Sea el evento A: A gana en su turno

y el evento B: B pierde en su turno

$ P = P(A) + P(A'BA) + P(A'BA'BA) + \ldots $

$P=\frac{1}{36}+\frac{35^2}{36^2}*\frac{1}{36}+\frac{35^4}{36^4}*\frac{1}{36}+\ldots $

$ P = \frac{1}{36}*(1+\frac{35^2}{36^2}+\frac{35^4}{36^4}+\ldots)$

$ P = \frac{1}{36}*\frac{1}{1-\frac{35^2}{36^2}}$

$ P = \frac{36}{71}$