Supongamos que $x,\,y\in G$ y ambos conmutan con $[x,\,y]$. Demuestra que para todo $n\in\mathbb{Z}^+,\;(xy)^n=x^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$.

Question

Suponga $x,\,y\in G$ y ambos conmutan con $[x,\,y]$. Demuestre que para todo $n\in\mathbb{Z}^+,\;(xy)^n=x^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$.

$[x,\,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ es el conmutador de $x$ y $y$.

He encontrado que $$\begin{equation} xy^{-1}xy=y^{-1}xyx\\ yx^{-1}y^{-1}x=x^{-1}y^{-1}xy\\ [x,\,y][y,\,x]=1\\ x=[y,\,x]x[x,\,y]\\ y=[y,\,x]y[x,\,y]. \end{equation}$$ Sin embargo, solo puedo demostrar el caso especial cuando $n=2$.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $ab=ba$, entonces $ab^{-1}=b^{-1}a$. Aplicando este resultado a $x,y$ y $[x,y]$, obtenemos que $[y,x]$ también conmuta con $x$.

Para $n=2$, $$xyxy=xxy[y,x]y=xxyy[y,x]=x^2y^2[y,x],$$ como se requiere.

Ahora supongamos que $(xy)^n=x^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$, entonces $$(xy)^{n+1}=xy(xy)^n=xyx^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ =xxy[y,x]x^{n-1}y^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ =x^2yx^{n-1}y^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}+1}.$$ Ahora utilizamos el hecho de que $[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=e$ repetidamente, $$x^2yx^{n-1}y^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}+1}\\ =x^{1+k}yx^{n-k}y^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}+k}.$$ Tomando $n=k$, obtenemos $$(xy)^{n+1}=x^{n+1}y^{n+1}[y,\,x]^{\frac{n(n+1)}{2}}.$$ Por el principio de inducción, concluimos la demostración.