En Categorías localmente presentables y accesibles, página 12 (10),
Un espacio topológico es finitamente presentable en $\mathbf{Top}$, la categoría de espacios topológicos y funciones continuas, si y solo si es finito y discreto.
Pero la explicación después de esta oración tiene poco sentido para mí. En particular, quiero una demostración rigurosa de que cada objeto finitamente presentable en $\mathbf{Top}$ es finito y discreto.
$\newcommand{\colim}{\operatorname{colim}}$Creo que hay un error en el argumento: tal como está escrito, los mapas obvios $A\to D_n$ son continuos, por lo que el mapa $A\to\colim D_n$ definitivamente se factoriza a través de los mapas $D_n\to\colim D_n$. Tampoco creo que la afirmación de que $\colim D_n$ sea indiscreto sea precisa: todos los subconjuntos abiertos de $A$ también son abiertos en ese colímite.
En cambio, el argumento debería funcionar si modificas $D_n$ para que un subconjunto $U\subseteq A\sqcup\mathbb N$ sea abierto si y solo si $U$ está vacío, es el espacio entero o $U$ es cofinito y disyunto de $\{0,1,\dots,n-1\}$, sin ninguna condición sobre los elementos de $A$.
Ahora, como $A$ no es discreto, pero el subconjunto de $D_n$ en el conjunto subyacente de $A$ sí es discreto, vemos que los mapas $A\to D_n$ no son continuos. Por otro lado, puedes verificar que el colímite en este caso es efectivamente indiscreto: dado que ningún subconjunto cofinito de $\mathbb N$ puede estar disyunto de todos los $\{0,\dots,n-1\}$, los únicos dos conjuntos que son abiertos en cada $D_n$ son el conjunto vacío y todo $A\sqcup\mathbb N$. Así que tenemos un mapa $A\to\colim D_n$ que no se factoriza a través de ninguno de los $D_n$.
La finitud es una parte más simple: cualquier espacio discreto infinito $X$ puede escribirse como un colímite de sus subespacios finitos, $X=\colim X_i$. Pero $X\to X$ definitivamente no se factoriza a través de ninguno de los $X_i$ a menos que $X$ en sí sea finito.
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