Estaba pensando en el modelo de la Tierra Plana y me encontré con el siguiente problema. Considera una esfera y un observador que se aleja de la esfera. Utilizando el principio de contracción de longitud de la relatividad especial, supuse que el observador vería que la esfera se había encogido paralelamente a la dirección del movimiento y así parecería un disco. La curvatura que el observador mediría puede hacerse arbitrariamente pequeña en algunos puntos al elegir la rapidez lo suficientemente grande. Aunque, según la Relatividad General, la curvatura es una invariante para todos los observadores, el observador inercial calcularía una curvatura idéntica en todos los puntos de la esfera, sin embargo, el observador en movimiento aparentemente mediría un valor diferente para la curvatura. Siempre pensé que la Relatividad General se reduciría a la Relatividad Especial si nos restringimos a vecindarios locales y parece que realmente podemos realizar este experimento de manera local. Estoy seguro de que he cometido algunos errores en mis conclusiones. Agradecería si pudieras aclarar esto para mí.
Respuesta
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A Nice Guy
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El tensor de curvatura de Riemann es un campo tensor definido en una variedad de $4$ dimensiones. Sin embargo, la curvatura de la que estaba hablando es el tensor de curvatura de Riemann definido por la métrica inducida en una subvariedad de $3$ dimensiones. La esfera es la subvariedad de $3$ dimensiones que se describe por $t=const.$ en su carta, mientras que el disco en las coordenadas del segundo observador se describe por $t^\prime=const.$ donde en general son diferentes. Por lo tanto, la curvatura de $3$ dimensiones no necesita ser invariante bajo transformaciones de Poincaré en $4$ dimensiones.
