¿Funciones generadoras de probabilidad para un cambio lineal de variable?

Question

Me resulta difícil entender por qué, en el ejercicio de un libro de texto sobre funciones generadoras de probabilidad, se dice que si $X$ es una variable aleatoria (va) con función generadora de probabilidad (fgp) $G_{X}(s)$, entonces para la va $Z = X + k$ para un entero positivo $k$, la fgp se da por $$G_{Z}(s) = s^{k}G_{X}(s).$$

Seguramente si asumimos que la va $X$ toma valores enteros $0,1,2,,,$ con probabilidad $p_{0}, p_{1}, p_{2},...$, entonces la va $Z$ toma valores enteros $k, k+1, k+2,...$ con probabilidad correspondiente $p_{0}, p_{1}, p_{2},...$, y por lo tanto las funciones generadoras correspondientes deberían ser idénticas? ¿Lo único que cambia es la posición inicial entera (se desplaza por $k$) para la distribución de la va?

Answer 1

Dado que $\mathbb P(X\geqslant0)=1$ tenemos \begin{align} G_Z(s) &= \sum_{n=0}^\infty \mathbb P(Z=n)s^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \mathbb P(X+k=n)s^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \mathbb P(X=n-k)s^n\\ \end{align} y con el cambio de variables $m=n-k$, esto es igual a $$ \sum_{m=0}^\infty \mathbb P(X=m)s^{m+k} = s^k\sum_{m=0}^\infty \mathbb P(X=m)s^m = s^kG_X(s). $$ Tu intuición fue correcta. El factor de $s^k$ es precisamente lo que da cuenta del cambio de soporte de $\{0,1,\ldots\}$ a $\{k,k+1,\ldots\}$. Nota que, por ejemplo, el coeficiente de $s^k$ es $\mathbb P(X=0)$, cuando en la función generadora de probabilidad para $X$ el coeficiente de $s^k$ era $\mathbb P(X=k)$.

Answer 2

Sea $G_X(s)$ la función generadora de probabilidades (PGF) de la variable aleatoria $X$. Entonces, si $Z = X + k$ para algún $k$ fijo, simplemente tenemos $$G_Z(s) = \operatorname{E}[s^Z] = \operatorname{E}[s^{X + k}] = \operatorname{E}[s^k s^X] = s^k \operatorname{E}[s^X] = s^k G_X(s).$$